Andengradsligningen

Andengradsligningens normalform er:

$$ y = ax^2 + bx +c $$

For at løse andengradsliningen anvendes følgende formel

$$ x= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}, ~~ hvor~ D = b^2-4ac$$

Diskriminanten (\( D \)) beskriver også antallet af rødder andengradsligning har. Altså hvor ligningen giver nul (\( ax^2 + bx +c = 0 \))

Derudover skal vi være opmærksom på fortegnet for \( a \). Hvis \( a \) er positiv vender parablens gafler opad og hvis \( a \) er negativ vender de nedad.

For at finde parablens toppunkt anvendes følgende formel

$$ TP = \left( \frac{-b}{2a} , \frac{-D}{4a} \right) $$

Kvadratsætningerne

Før vi går igang med at arbejde med udredningen af formlerne for andengradsliningen skal vi have et overblik over kvadratsætningerne.

Sætning 1:

$$ (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$

Når det er en plus parentes er det:

  1. Det første led i anden plus det andet led i anden
  2. plus
  3. det dobbelte produkt af ledene

Sætning 2:

$$ (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab $$

Når det er en minus parentes er det:

  1. Det første led i anden plus det andet led i anden
  2. minus
  3. det dobbelte produkt af ledene

Sætning 3:

$$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $$

Når det er en plus og en minus parentes er det:

  1. Det første led i anden minus det andet led i anden
Eksempler med kvadratsætninger

Plus parantes

\( (2x+4)^2 = (2x)^2 + (4)^2 + 2 \cdot (2x \cdot 4) = 4x^2 + 16 + 16x\)

Minus parantes

\( (2x-4)^2 = (2x)^2 + (4)^2 - 2 \cdot (2x \cdot 4) = 4x^2 + 16 - 16x \)

Plus og minus parantes

\( (2x+4) \cdot (2x-4) = (2x)^2 - (4)^2 = 4x^2 - 16 \)

Udregning af kvadratsætninger

Sætning 1:

$$ (a+b)^2 =(a+b) \cdot (a+b) = a^2 + ab +ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 = a^2+b^2+2ab $$

Sætning 2:

$$ (a-b)^2 =(a-b) \cdot (a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2-2ab+b^2 = a^2+b^2-2ab $$

Sætning 3:

$$ (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2 $$

Bevis andengradsligningen

Vi skriver normalformen for andengradsligningen:

$$ ax^2 + bx +c = 0$$

Gang med \( 4a \) på begge sider (i alle ledene)

$$ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0$$

Læg diskriminanten \( D = b^2-4ac \) til på begge sider

$$ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac + b^2 - 4ac= D$$

Reducer den venstre side

$$ 4a^2x^2 + 4abx + b^2= D$$

For at komme videre skal vi lave en omskrivning af udtrykket

$$ (2ax)^2 + 2 \cdot (2ax) \cdot b + b^2 = D $$

For at få et overblik erstatter vi \( 2ax \) med \( \alpha \)

$$ \alpha^2 + 2 \cdot {\alpha} \cdot b + b^2 = D $$

For at "opdage" tricket ændrer vi på rækkefølgen af ledene:

$$ \alpha^2 + b^2 + 2 \cdot {\alpha} \cdot b= D $$

Her opdager vi at vi, at det er det samme som i kvadratsætning 1:

Når det er en plus parentes er det:

  1. Det første led i anden plus det andet led i anden
  2. plus
  3. det dobbelte produkt af ledene

Vi kan altså omskrive det ovenstående ved hjælp af kvadratsætning 1

$$ (\alpha + b)^2 = D $$

Vi erstatter \( \alpha \) med det oprindelige udtryk (\( 2ax \))

$$ (2ax + b)^2 = D $$

Vi kvadrerer på begge sider. Vi skal huske at der er både en positiv og en negativ værdi når vi kvadrerer, da både \( 3^2 \) og \( (-3)^2 \) er lig med \( 9 \).

$$ 2ax + b = \pm \sqrt D $$

Herefter isoleres x

$$ 2ax= -b \pm \sqrt D \\ \Updownarrow \\ x= \frac {-b \pm \sqrt D}{2a} $$

Bevis toppunktsformel

For at finde toppunktet skal vi anvende en matematisk viden, som man ikke anvender på C-niveauet, nemlig differentialregning. Kort fortalt anvender man differentiering til at beskrive hældningen i et givent punkt i en kontinuerlig funktioner. I sammenhæng med toppunktet i en andengradsligning giver det mening, da tangentens hældning i toppunktet er \( 0 \) både for \( a>0 \) og \( a<0 \).

Den differentierede funktion af \( f(x) \) kaldes for \( f'(x) \) - "f mærke af x". Læg mærke til at \( c \)-leddet forsvinder i den differentierede funktion. Vi kan altså ikke gå fra \( f'(x) \) til \( f(x) \) igen.

$$ f(x) = ax^2 + bx + c ~~~~ \Rightarrow ~~~~ f'(x) = 2ax + b $$

Da vi ved at den differentierede værdi i toppunktet er \( 0 \), kan vi altså lave følgende udsagn:

$$ 2ax + b = 0 $$

Vi isolerer \( x \)

$$ x = \frac{-b}{2a} $$

Da vi nu kender \( x \), kan vi indsætte denne værdi i den oprindelige ligning:

$$ y= a \cdot \left( \frac{-b}{2a} \right)^2 + b \cdot \frac{-b}{2a} + c $$

Vi kvadrerer den første parantes

$$ y = a \cdot \left( \frac{b^2}{4a^2} \right) + b \cdot \frac{-b}{2a} + c$$

Vi ganger ind i brøker og ændrer fortegn

$$ y = \frac{ab^2}{4a^2} + \frac{-b^2}{2a} + c$$

Vi forkorter

$$ y = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c$$

Vi giver alle ledene fællesnævneren \( 4a \):

$$ y = \frac{b^2}{4a} - \frac{2 \cdot b^2}{2 \cdot 2a} + \frac{4a \cdot c}{4a} \\ \Updownarrow \\ y = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} $$

Vi samler på en brøkstreg

$$ y = \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} $$

Forkorter

$$ y = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} $$

Vi lægger mærke til at tælleren (\( -b^2+4ac \)) er det samme som -D

$$ y = \frac{-D}{4a} $$

Hermed har vi både \( x \) og \( y \) værdien for toppunktet:

$$ TP = \left( \frac{-b}{2a} , \frac{-D}{4a} \right) $$

Konstruktion af andengradsfunktioner

Man kan konstruere en andengradsfunktion ved hjælp af følgende formel:

$$ y = a(x-x_1)(x-x_2) $$

Hvor det gælder at:

$$ D > 0 : x_1 = \frac{ -b + \sqrt{D} }{ 2a } ~~~ og ~~~ x_2 = \frac{ -b - \sqrt{D} }{ 2a }$$

Måden man beviser det på er ved at regne videre

$$ y = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \\ \Updownarrow \\ y = a \cdot (x^2 - x_1 \cdot x - x_2 \cdot x + x_1 \cdot x_2) $$

Her opdager vi at de to midterste led begge bliver ganget med \( x \), hvilket vi udnytter, ved at sætte \( x \) udenfor parantes. Læg mærke til at \( x_2 \) skifter fortegn. Det skyldes at det er en minus parantes.

$$ y = a \cdot (x^2 - (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 \cdot x_2) $$

Nu kan vi ikke komme længere med det ovenstående, men vi ved noget om \( x_1 \) og \( x_2 \) da det er nulpunkter. Vi kan altså opstille følgende:

$$ x_1 + x_2 = \frac{ -b + \sqrt{D} }{ 2a } + \frac{ -b - \sqrt{D} }{ 2a } \\ \Updownarrow \\ x_1 + x_2 = \frac{ -b + \sqrt{D} -b - \sqrt{D} }{ 2a } \\ \Updownarrow \\ x_1 + x_2 = \frac{ -b - b }{ 2a } \\ \Updownarrow \\ x_1 + x_2 = \frac{ -2b }{ 2a } \\ \Updownarrow \\ x_1 + x_2 = \frac{ -b }{ a } $$

Og vi kan opstille følgende

$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{ -b + \sqrt{D} }{ 2a } \cdot \frac{ -b - \sqrt{D} }{ 2a } \\ \Updownarrow \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{ (-b + \sqrt{D})\cdot ( -b - \sqrt{D}) }{ 4a^2 } $$

Ved hjælp af kvadratsætning 3 ovenfor kan det omskrives til:

$$ x_1 \cdot x_2 = \frac {(-b)^2 - ( \sqrt{D})^2} {4a^2} \\ \Updownarrow \\ x_1 \cdot x_2 = \frac {b^2 - D} {4a^2} \\ \Updownarrow \\ x_1 \cdot x_2 = \frac {b^2 - (b^2 - 4ac)} {4a^2} \\ \Updownarrow \\ x_1 \cdot x_2 = \frac {b^2 - b^2 + 4ac} {4a^2} \\ \Updownarrow \\ x_1 \cdot x_2 = \frac {4ac} {4a^2} \\ \Updownarrow \\ x_1 \cdot x_2 = \frac { c} {a} $$

Lad os nu gå tilbage:

$$y = a \cdot (x^2 - (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 \cdot x_2) \\ \Updownarrow \\ y = a \cdot (x^2 - (\frac{ -b }{ a }) \cdot x + \frac { c} {a}) \\ \Updownarrow \\ y = a \cdot x^2 - a \cdot \frac{ -b }{ a } \cdot x + a \cdot \frac { c} {a} \\ \Updownarrow \\ y = ax^2 + bx + c $$

Beviset er hermed gennemført.