Andengradsligningens normalform er:
For at løse andengradsliningen anvendes følgende formel
Diskriminanten (\( D \)) beskriver også antallet af rødder andengradsligning har. Altså hvor ligningen giver nul (\( ax^2 + bx +c = 0 \))
Derudover skal vi være opmærksom på fortegnet for \( a \). Hvis \( a \) er positiv vender parablens gafler opad og hvis \( a \) er negativ vender de nedad.
For at finde parablens toppunkt anvendes følgende formel
Før vi går igang med at arbejde med udredningen af formlerne for andengradsliningen skal vi have et overblik over kvadratsætningerne.
Sætning 1:
Når det er en plus parentes er det:
- Det første led i anden plus det andet led i anden
- plus
- det dobbelte produkt af ledene
Sætning 2:
Når det er en minus parentes er det:
- Det første led i anden plus det andet led i anden
- minus
- det dobbelte produkt af ledene
Sætning 3:
Når det er en plus og en minus parentes er det:
- Det første led i anden minus det andet led i anden
Plus parantes
\( (2x+4)^2 = (2x)^2 + (4)^2 + 2 \cdot (2x \cdot 4) = 4x^2 + 16 + 16x\)
Minus parantes
\( (2x-4)^2 = (2x)^2 + (4)^2 - 2 \cdot (2x \cdot 4) = 4x^2 + 16 - 16x \)
Plus og minus parantes
\( (2x+4) \cdot (2x-4) = (2x)^2 - (4)^2 = 4x^2 - 16 \)
Udregning af kvadratsætninger
Sætning 1:
Sætning 2:
Sætning 3:
Vi skriver normalformen for andengradsligningen:
Gang med \( 4a \) på begge sider (i alle ledene)
Læg diskriminanten \( D = b^2-4ac \) til på begge sider
Reducer den venstre side
For at komme videre skal vi lave en omskrivning af udtrykket
For at få et overblik erstatter vi \( 2ax \) med \( \alpha \)
For at "opdage" tricket ændrer vi på rækkefølgen af ledene:
Her opdager vi at vi, at det er det samme som i kvadratsætning 1:
Når det er en plus parentes er det:
- Det første led i anden plus det andet led i anden
- plus
- det dobbelte produkt af ledene
Vi kan altså omskrive det ovenstående ved hjælp af kvadratsætning 1
Vi erstatter \( \alpha \) med det oprindelige udtryk (\( 2ax \))
Vi kvadrerer på begge sider. Vi skal huske at der er både en positiv og en negativ værdi når vi kvadrerer, da både \( 3^2 \) og \( (-3)^2 \) er lig med \( 9 \).
Herefter isoleres x
For at finde toppunktet skal vi anvende en matematisk viden, som man ikke anvender på C-niveauet, nemlig differentialregning. Kort fortalt anvender man differentiering til at beskrive hældningen i et givent punkt i en kontinuerlig funktioner. I sammenhæng med toppunktet i en andengradsligning giver det mening, da tangentens hældning i toppunktet er \( 0 \) både for \( a>0 \) og \( a<0 \).
Den differentierede funktion af \( f(x) \) kaldes for \( f'(x) \) - "f mærke af x". Læg mærke til at \( c \)-leddet forsvinder i den differentierede funktion. Vi kan altså ikke gå fra \( f'(x) \) til \( f(x) \) igen.
Da vi ved at den differentierede værdi i toppunktet er \( 0 \), kan vi altså lave følgende udsagn:
Vi isolerer \( x \)
Da vi nu kender \( x \), kan vi indsætte denne værdi i den oprindelige ligning:
Vi kvadrerer den første parantes
Vi ganger ind i brøker og ændrer fortegn
Vi forkorter
Vi giver alle ledene fællesnævneren \( 4a \):
Vi samler på en brøkstreg
Forkorter
Vi lægger mærke til at tælleren (\( -b^2+4ac \)) er det samme som -D
Hermed har vi både \( x \) og \( y \) værdien for toppunktet:
Man kan konstruere en andengradsfunktion ved hjælp af følgende formel:
Hvor det gælder at:
Måden man beviser det på er ved at regne videre
Her opdager vi at de to midterste led begge bliver ganget med \( x \), hvilket vi udnytter, ved at sætte \( x \) udenfor parantes. Læg mærke til at \( x_2 \) skifter fortegn. Det skyldes at det er en minus parantes.
Nu kan vi ikke komme længere med det ovenstående, men vi ved noget om \( x_1 \) og \( x_2 \) da det er nulpunkter. Vi kan altså opstille følgende:
Og vi kan opstille følgende
Ved hjælp af kvadratsætning 3 ovenfor kan det omskrives til:
Lad os nu gå tilbage:
Beviset er hermed gennemført.