Eksponentialfunktioner

Eksponentialfunktionen

Eksponentialfunktionens normalform er:

$$ y= b \cdot a^x $$

\( a \) kaldes for fremskrivningsfaktoren og \( b \) for begyndelsesværdien. Derudover gælder det at:

$$ b > 0, ~a > 0, ~a \neq 1 $$

Man kan finde ligningen til eksponentialfunktionen ved hjælp af to punkter på linien.

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Formlerne for \( a \) og \( b \)

$$ a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ b = \frac{y_1}{a^{x_1}}$$

Formlerne for fordoblingskonstanten (\( T_2 \)) og halveringskonstanten (\( T_{\frac{1}{2}} \)) er

$$ T_2 = \frac{ln(2)}{ln(a)} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ T_{\frac{1}{2}} = \frac{ln(\frac{1}{2})}{ln(a)}$$

Bevis eksponentialfunktioner

Find a

For at finde a indsættes punkterne \( P \) og \( Q \) i normalformen for eksponentialfunktionen på følgende måde

$$ y_1 = b \cdot a^{x_1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ y_2 = b \cdot a^{x_2}$$

Divider de to udtryk med hinanden

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{b \cdot a^{x_2}}{b \cdot a^{x_1}} $$

Udtrykket reduceres

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} $$

Brøken på højre side omskrives ved hjælp af potensregler (\( \frac{ a^m }{ a^n } = a^{m-n}\))

$$ \frac{y_2}{y_1} = a^{x_2-x_1} $$

Herefter tages roden på begge sider og beviset er gennemført

$$ \sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}} = a $$

Find b

Indsæt et af punkterne i ligningen for eksponentialfunktionen

$$ y_1 = b \cdot a^{x_1} $$

Isoler \( b \) og beviset er gennemført

$$ \frac{y_1}{a^{x_1}} = b $$

Fordoblings- og halveringskonstanten

Da eksponentielfunktioner hele tiden vokser eller aftager med samme procent per enhed anvender man to værdier til at beskrive funktionerne: Fordoblingskonstanten som har betegnelsen \( T_2 \) og halveringskonstanten som betegnes \( T_{\frac{1}{2}} \). På den måde får man en beskrivelse af hvor hurtig eksponentialfunktioner til- og aftager.

$$ T_2 = \frac{ln(2)}{ln(a)}~ $$

$$ T_{\frac{1}{2}} = \frac{ln\left(\frac{1}{2}\right)}{ln(a)} $$

Bevis fordoblingskonstanten

Fordoblingskonstanten er givet ved formlen:

$$ T_2 = \frac{ln(2)}{ln(a)} $$

På nedestående arbejdstegning er der indtegnet en vilkårlig eksponentialfunktion som går igennem punkterne \( P \) og \( Q \).

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Punkterne er afsat sådan at funktionsværdien af \( x_2 \) er det dobbelte af funktionsværdien for \( x_1 \), sådan at \( y_2 \) kan erstattes af \( 2 \cdot y_1 \). Afstanden mellem \( x_1 \) og \( x_2 \) er altså \( T_2 \) (fordoblingskonstanten).

For at finde en formel for fordoblingskonstanten indsætter vi de omskrevne værdier for henholdsvis \( P \) og \( Q \) i normalformen for den eksponentielle funktion og vi definerer \( T_2 \).

$$ y_1 = b \cdot a^{x_1} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2 \cdot y_1 = b \cdot a^{x_2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ T_2 = x_2 - x_1$$

De to udtryk divideres med hinanden

$$ \frac{2 \cdot y_1}{y_1 } = \frac{b \cdot a^{x_2}}{b \cdot a^{x_1}} $$

Udtrykket forkortes

$$ 2 = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} $$

Regneregel for potenser i brøker anvendes (\( \frac{ a^m }{ a^n } = a^{m-n}\))

$$ 2 = a^{x_2 - x_1} $$

\( x_2 - x_1 \) erstattes med \( T_2 \)

$$ 2 = a^{T_2} $$

Logaritmen anvendes på begge sider så vi kan isolere eksponenten (\( ln(a^x) = x \cdot ln(a) \)):

$$ ln(2) = ln(a^{T_2}) \\ \Updownarrow \\ ln(2) = T_2 \cdot ln(a) $$

\( T_2 \) isoleres og beviset er gennemført

$$ \frac{ln(2)}{ln(a)}= T_2 $$

Bevis halveringskonstanten

Halveringskonstanten er givet ved formlen:

$$ T_{\frac{1}{2}} = \frac{ln\left(\frac{1}{2}\right)}{ln(a)} $$

Beviset for halveringskonstanten følger den samme fremgangsmåde som den for fordoblingskonstanten

På nedestående arbejdstegning er der indtegnet en vilkårlig eksponentialfunktion som går igennem punkterne \( P \) og \( Q \).

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Punkterne er afsat sådan at funktionsværdien af \( x_2 \) er det halve af funktionsværdien for \( x_1 \), sådan at \( y_2 \) kan erstattes af \( \frac{1}{2} \cdot y_1 \). Afstanden mellem \( x_1 \) og \( x_2 \) er altså \( T_{\frac{1}{2}} \) (halveringskonstanten).

For at finde en formel for halveringskonstanten indsætter vi de omskrevne værdier for henholdsvis \( P \) og \( Q \) i normalformen for den eksponentielle funktion og vi definerer \( T_{\frac{1}{2}} \).

$$ y_1 = b \cdot a^{x_1} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \frac{1}{2} \cdot y_1 = b \cdot a^{x_2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ T_{\frac{1}{2}} = x_2 - x_1$$

De to udtryk divideres med hinanden

$$ \frac{\frac{1}{2} \cdot y_1}{y_1 } = \frac{b \cdot a^{x_2}}{b \cdot a^{x_1}} $$

Udtrykket forkortes

$$ \frac{1}{2} = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} $$

Regneregel for potenser i brøker anvendes (\( \frac{ a^m }{ a^n } = a^{m-n}\)):

$$ \frac{1}{2} = a^{x_2 - x_1} $$

\( x_2 - x_1 \) erstattes med \( T_{\frac{1}{2}} \)

$$ \frac{1}{2} = a^{T_{\frac{1}{2}}} $$

Logaritmen anvendes på begge sider så vi kan isolere eksponenten (\( ln(a^x) = x \cdot ln(a) \)):

$$ ln\left(\frac{1}{2}\right) = ln\left(a^{T_{\frac{1}{2}}}\right) \\ \Updownarrow \\ ln\left(\frac{1}{2}\right) = T_{\frac{1}{2}} \cdot ln(a) $$

\( T_{\frac{1}{2}} \) isoleres og beviset er gennemført

$$ \frac{ln\left(\frac{1}{2}\right)}{ln(a)}= T_{\frac{1}{2}} $$