Eksponentialfunktionens normalform er:
\( a \) kaldes for fremskrivningsfaktoren og \( b \) for begyndelsesværdien. Derudover gælder det at:
Man kan finde ligningen til eksponentialfunktionen ved hjælp af to punkter på linien.
Formlerne for \( a \) og \( b \)
Formlerne for fordoblingskonstanten (\( T_2 \)) og halveringskonstanten (\( T_{\frac{1}{2}} \)) er
For at finde a indsættes punkterne \( P \) og \( Q \) i normalformen for eksponentialfunktionen på følgende måde
Divider de to udtryk med hinanden
Udtrykket reduceres
Brøken på højre side omskrives ved hjælp af potensregler (\( \frac{ a^m }{ a^n } = a^{m-n}\))
Herefter tages roden på begge sider og beviset er gennemført
Indsæt et af punkterne i ligningen for eksponentialfunktionen
Isoler \( b \) og beviset er gennemført
Da eksponentielfunktioner hele tiden vokser eller aftager med samme procent per enhed anvender man to værdier til at beskrive funktionerne: Fordoblingskonstanten som har betegnelsen \( T_2 \) og halveringskonstanten som betegnes \( T_{\frac{1}{2}} \). På den måde får man en beskrivelse af hvor hurtig eksponentialfunktioner til- og aftager.
Fordoblingskonstanten er givet ved formlen:
På nedestående arbejdstegning er der indtegnet en vilkårlig eksponentialfunktion som går igennem punkterne \( P \) og \( Q \).
Punkterne er afsat sådan at funktionsværdien af \( x_2 \) er det dobbelte af funktionsværdien for \( x_1 \), sådan at \( y_2 \) kan erstattes af \( 2 \cdot y_1 \). Afstanden mellem \( x_1 \) og \( x_2 \) er altså \( T_2 \) (fordoblingskonstanten).
For at finde en formel for fordoblingskonstanten indsætter vi de omskrevne værdier for henholdsvis \( P \) og \( Q \) i normalformen for den eksponentielle funktion og vi definerer \( T_2 \).
De to udtryk divideres med hinanden
Udtrykket forkortes
Regneregel for potenser i brøker anvendes (\( \frac{ a^m }{ a^n } = a^{m-n}\))
\( x_2 - x_1 \) erstattes med \( T_2 \)
Logaritmen anvendes på begge sider så vi kan isolere eksponenten (\( ln(a^x) = x \cdot ln(a) \)):
\( T_2 \) isoleres og beviset er gennemført
Halveringskonstanten er givet ved formlen:
Beviset for halveringskonstanten følger den samme fremgangsmåde som den for fordoblingskonstanten
På nedestående arbejdstegning er der indtegnet en vilkårlig eksponentialfunktion som går igennem punkterne \( P \) og \( Q \).
Punkterne er afsat sådan at funktionsværdien af \( x_2 \) er det halve af funktionsværdien for \( x_1 \), sådan at \( y_2 \) kan erstattes af \( \frac{1}{2} \cdot y_1 \). Afstanden mellem \( x_1 \) og \( x_2 \) er altså \( T_{\frac{1}{2}} \) (halveringskonstanten).
For at finde en formel for halveringskonstanten indsætter vi de omskrevne værdier for henholdsvis \( P \) og \( Q \) i normalformen for den eksponentielle funktion og vi definerer \( T_{\frac{1}{2}} \).
De to udtryk divideres med hinanden
Udtrykket forkortes
Regneregel for potenser i brøker anvendes (\( \frac{ a^m }{ a^n } = a^{m-n}\)):
\( x_2 - x_1 \) erstattes med \( T_{\frac{1}{2}} \)
Logaritmen anvendes på begge sider så vi kan isolere eksponenten (\( ln(a^x) = x \cdot ln(a) \)):
\( T_{\frac{1}{2}} \) isoleres og beviset er gennemført