Formelsamling

Regneregler

$$ a+b=b+a $$
$$ a-b \neq b-a $$
$$ a \cdot b = b \cdot a $$
$$ \frac{a}{b} \neq \frac{b}{a} $$

Man siger at \( + \) og \( \cdot \) er kommunikative da rækkefølgen er uden betydning.

Man kan omskrive negative tal og brøker, så man kan arbejde kommunikativt med dem.

$$ a - b = a + ^-b $$
$$ \frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b} $$

Matematiske sætninger

For at kunne snakke om matematik anvender vi et fagsprog, hvor vi anvender begreber som led og sætning. Led er adskilt af \( + \) eller \( - \) og en sætning opdeles i led. Lad os kigge på nedestående matematiske udtryk:

$$ \overbrace{ \underbrace{ax}_\text{1. led} + \underbrace{bx}_\text{2. led} - \underbrace{3(a+x)}_\text{3. led} }^\text{Sætning} $$

Denne sætning består af 3 led. Positive led kan flyttes rundt efter behov, hvilket kræver en omskrivning af de negative led:

$$ ax+bx-3(a+x) = ax+bx+ {^-}3(a+x) $$

Brøkregneregler

Brøker tilhører talmængden \( \mathbb{Q} \). For at kunne beskrive brøker anvender vi begreberne tæller og nævner:

$$ \frac{tæller}{nævner} $$

Addition og substraktion

For at kunne lægge brøker sammen skal de have samme nævner

$$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $$
$$ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $$

Multiplikation

$$ a \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{d} $$
$$ \frac{ a }{ b } \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $$

Division

Når man dividerer med en brøk så ganger man med den reciprokke (modsatte) værdi

$$ a : \frac{b}{c} = a \cdot \frac{c}{b} = \frac{a \cdot c}{b} $$
$$ \frac{a}{b} : c = \frac{a}{b} : \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{b \cdot c} $$
$$ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $$
Eksempler med brøker

Addition

$$ \frac{ 2 }{ 4 } + \frac{ 3 }{ 4 } = \frac{ 5 }{ 4 } = 1 \frac{ 1 }{ 4 }$$
$$ \frac{ 2 }{ 3 } + \frac{ 3 }{ 4 } = \frac{ 2 \cdot 4 }{ 3 \cdot 4 } + \frac{ 3 \cdot 3 }{ 4 \cdot 3 } = \frac{ 8 }{ 12 } + \frac{ 9 }{ 12 } = \frac{ 17 }{ 12 } = 1 \frac{ 5 }{ 12 }$$

Substraktion

$$ \frac{ 3 }{ 4 } - \frac{ 2 }{ 4 } = \frac{ 1 }{ 4 } $$

Multiplikation

$$ \frac{ 2 }{ 3 } \cdot \frac{ 4 }{ 5 } = \frac{ 8 }{ 15 }$$

Division

$$ 2 : \frac{ 3 }{ 4 } = 2 \cdot \frac{ 4 }{ 3 } = \frac{ 8 }{ 3 } = 2 \frac{ 2 }{ 3 }$$
$$ \frac{ 2 }{ 3 } : \frac{ 4 }{ 5 } = \frac{ 2 }{ 3 } \cdot \frac{ 5 }{ 4 } = \frac{ 2 \cdot 5 }{ 3 \cdot 4 } = \frac{ 10 }{ 12 } = \frac{ 2 \cdot 5 }{ 2 \cdot 6 } = \frac{ 5 }{ 6 }$$

Faktorering

Tal der ganges med hinanden kaldes faktorer.

I matematik kan man have fordel af at faktorere tal ved hjælp af primtalsfaktorer. Primtal er tal, hvor kun en og tallet selv går op i tallet. Herunder er de første 17 primtal:

$$ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, ... $$

Se nedestående eksempel:

$$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $$

Det kan f.eks. anvendes til at forkorte brøker.

$$\require{cancel} \frac{ 30 }{ 75 } = \frac{ 2 \cdot 3 \cdot 5 }{ 3 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{ 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5} }{ \cancel{3} \cdot \cancel{5} \cdot 5 } = \frac{ 2 }{ 5 }$$

Numeriske værdier

For at sikre et tal kommer ud som en positiv værdi anvender man nummeriske værdier:

$$ \left| \pm a \right| = a $$

Kvadratsætningerne

Sætning 1:

$$ (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$

Når det er en plus parentes er det:

  1. Det første led i anden plus det andet led i anden
  2. plus
  3. det dobbelte produkt af ledene

Sætning 2:

$$ (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab $$

Når det er en minus parentes er det:

  1. Det første led i anden plus det andet led i anden
  2. minus
  3. det dobbelte produkt af ledene

Sætning 3:

$$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $$

Når det er en plus og en minus parentes er det:

  1. Det første led i anden
  2. minus
  3. det andet led i anden
Eksempler med kvadratsætninger

Plus parantes

\( (2x+4)^2 = (2x)^2 + (4)^2 + 2 \cdot (2x \cdot 4) = 4x^2 + 16 + 16x\)

Minus parantes

\( (2x-4)^2 = (2x)^2 + (4)^2 - 2 \cdot (2x \cdot 4) = 4x^2 + 16 - 16x \)

Plus og minus parantes

\( (2x+4) \cdot (2x-4) = (2x)^2 - (4)^2 = 4x^2 - 16 \)

Potensregler

Definitioner

Definition 1

$$ a^n = \overbrace{a \cdot a \cdot a \cdot .... \cdot a}^{n ~ gange} $$

Definition 2

$$ a = \sqrt [n] {a^n} $$

Definition 3

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Definition 4

$$ a^0 = 1 $$

Benævnelser

Benævnelsen for tallene \( a^x = y \) er:

  • \( a \) = rodtallet (basen)
  • \( x \) = exponent
  • \( y \) = potensen

Regneregler

$$ 1)~~a^n \cdot a^m = a^{n + m} $$
$$ 2)~~{(a^n)}^m = a^{n \cdot m} $$
$$ 3)~~(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $$
$$ 4)~~\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$$
$$ 5)~~\frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n $$
$$ 6)~~\sqrt [n] a = a^{\frac{1}{n}} $$
$$ 7)~~\sqrt [n] {a^m} = a^{\frac{m}{n}}$$
Eksempler med potensregneregler

Regneregel 1

\( 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \)

Regneregel 2

\( (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} \)

Regneregel 3

\( (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 ← regneregel 1 \)

Regneregel 4

\( \frac{ 2^3 }{ 2^4 } = 2^{3-4} = 2^{-1} \)

Regneregel 5

\( \frac{ 2^4 }{ 3^4 } = \left( \frac{ 2 }{ 3 }\right)^4 \)

Regneregel 6

\( \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{ 1 }{ 3 }} \)

Regneregel 7

\( \sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{ 4 }{ 3 }} \)

Logaritmer

Definitioner

Logaritmefunktionen \( log_a(x) \) er defineret på følgende måde, hvor \( a \) er grundtallet:

Definition 1

$$ log_a(a^x) = x $$

Definition 2

$$ log_a(x) = y \Leftrightarrow a^y = x $$

Definition 3

$$ log_a(1) = 0 $$

Definition 4

$$ log_a(a) = 1 $$

Den naturlige logaritme

Indenfor matematik anvender man ofte den naturlige logaritme hvor grundtallet er \( e \approx 2,718281828 \). Den kaldes også for ln, hvor det gælder at \( ln(e) = 1 \)

Formlerne herunde er lavet med ln

Regneregler (omskrivninger)

De generelle regnereglerne for logaritmer er:

$$ for ~ a,b > 0 \wedge x \in \mathbb{R} $$

Ved alle de nedestående formler kan \( ln \) erstattes med \( log \).

$$ 1)~~ln(a \cdot b) = ln(a) + ln(b) $$
$$ 2)~~ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b) $$
$$ 3)~~ln(a^x) = x \cdot ln(a) $$
Eksempler med logaritmer (omskrivninger)

Regneregel 1

\( ln(3 \cdot 7) = ln(3) + ln(7) \)

Regneregel 2

\( ln(\frac{3}{7}) = ln(3) - ln(7) \)

Regneregel 3

\( ln(3^7) = 7 \cdot ln(3) \)

Ligningsløsning

Når man løser ligninger bruger man følgende fremgangsmåde

  1. Reducer utrykket og sæt udenfor parantes (hvis det er smart)
  2. Isoler den ubekendte

Når man isolerer den ubekendte gælder der den regel, at der skal være "ligevægt" i ligningen. Det betyder at man skal gøre det samme på begge sider, f.eks:

$$ 4x + 7 = 23 $$

Først trækker vi \( 7 \) fra på begge sider:

$$ 4x + 7 - 7 = 23 - 7 ~~~~\Leftrightarrow~~~~ 4x = 16 $$

Herefter dividerer vi med \( 4 \) på begge sider:

$$ \frac{ 4x }{ 4 } = \frac{ 16 }{ 4 } ~~~~\Leftrightarrow~~~~ x = 4$$

Her bliver det meget pindet ud, men man bør skrive det uden melemregningere, når det er simpel hovedregning (her noteret lodret:

$$ 4x+7=23 \\ \Updownarrow \\ 4x = 16 \\ \Updownarrow \\ x=4$$

Når man løser ligninger anvender man tegnene:

  • ensbetydende: \( \Leftrightarrow ~~ \Updownarrow \) (biimplikation)
  • medfører: \( \Rightarrow ~~ \Downarrow \) implikation

Forskellen mellem dem er følgende

Ensbetydende (bimplikation)

$$ \Leftrightarrow ~~~~ \Updownarrow $$

Man bruger enbestydende når udtrykkene på hver side

Lad os kigge på følgende eksempel på en ligningsløsning

$$ 3x + 7 = 22 ~~~~\Leftrightarrow~~~~ 3x = 15 ~~~~\Leftrightarrow~~~~ x= 5 $$

Her anvende vi ensbetydende, fordi de efterfølgende udtryk alle kommer fra det første. Det betyder også at vi kan sige nedestående fordi de kan afledes af hinanden:

$$ 3x + 7 = 22 ~~~~\Leftrightarrow~~~~ x= 5 $$

Sagt på en anden måde ... uanset om vi tager udtrykket til venstre eller til højre, så kan vi føre dem hen til det andet.

Medfører (implikation)

$$ \Rightarrow ~~~~ \Downarrow $$

Nogle gange kan vi ikke gå begge veje. Det gælder f.eks. i følgende tilfælde:

$$ x = 3 ~~~~\Rightarrow~~~~ x^2 = 9 $$

Det er korrekt, at \( 3^2 = 9 \), men \( \sqrt{9} \) kan være både \( 3 \) og \( -3 \).

Skema

Hovedregel: Man skal gøre det samme på begge sider

Hvad skal fjernes/tilføjes Løsning
Led lægge til / trække fra
Faktorer gange / dividere
Eksponenter Logaritmer
Potenser rødder
Parenteser samler led
Ændre fortegn gange med \( -1 \)
Praktiske eksempler Led
$$ x - 4 = 7 \\ \Updownarrow \\ x - 4 + 4 = 7 + 4 \\ \Updownarrow \\ x = 11 $$
Faktorering

a)

$$ 3x = 21 \\ \Updownarrow \\ \frac 33 \cdot x = \frac{ 21 }{ 3 } \\ \Updownarrow \\ x = 7 $$

b)

$$ \frac{ 1 }{ 7 } x = 2 \\ \Updownarrow \\ 7 \cdot \frac{ 1 }{ 7 } x = 2 \cdot 7 \\ \Updownarrow \\ x = 14 $$
Eksponenter
$$ a^x = 3 \\ \Updownarrow \\ ln(a^x) = ln(3) \\ \Updownarrow \\ x \cdot ln(a) = ln(3) \\ \Updownarrow \\ x = \frac{ ln(3) }{ ln(a) } $$
Potenser

a)

$$ x^3 = 27 \\ \Updownarrow \\ \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{27} \\ \Updownarrow \\ x = 3 $$

b)

$$ \sqrt{x} = 4 \\ \Updownarrow \\ \sqrt{x}^2 = 4^2 \\ \Updownarrow \\ x = 16 $$
Paranteser
$$ \frac{ 4 }{ 2x - 1 } = 4 \\ \Updownarrow \\ (2x-1) \cdot \frac{ 4 }{ 2x-1 } = 4 \cdot (2x - 1) \\ \Updownarrow \\ 4 = 8x - 4 \\ \Updownarrow \\ 4 + 4 = 8x - 4 + 4 \\ \Updownarrow \\ 8 = 8x \\ \Updownarrow \\ 8 = x $$
Ændre fortegn
$$ -x = 4 \\ \Updownarrow \\ -1 \cdot -x = 4 \cdot -1 \\ \Updownarrow \\ x = -4 $$

Mængdelære

Lad os antage at vi har mængerne:

$$ A = \{1,2,3\} \\ B=\{2,3,4\} $$

Foreningsmængde

$$ A \cup B = \{1,2,3,4\}$$
Venn-diagram

Fællesmængde

$$ A \cap B = \{2,3\}$$
Venn-diagram

Symetrisk differens

$$ A \Delta B = \{1,4\}$$
Venn-diagram

Mængdedifferens

$$ A \backslash B = \{1\} $$
$$ B \backslash A = \{4\} $$
Venn-diagram

Komplementærmængde

Tal der ikke findes i mængden.

$$ A^C = \{4\} $$
$$ B^C = \{1\} $$
Venn-diagram

Talmængder

Hele tal

\( \mathbb{N} = \{1, 2, 3 ...\} \)

\( \mathbb{N_0} = \{0, 1, 2, 3 ...\} \)

\( \mathbb{Z} = \{...-2, -1, 0, 1, 2...\} \)

Rationelle og reelle tal

Rationel betyder: "styret af eller baseret på fornuft, logik og materiel virkelighed" (DDO). Kort fortalt - brøker.

Der findes dog nogle tal som ikke kan skrives som brøker f.eks.: \( \pi \) og \( \sqrt{2} \). Da de tal ikke kan skrive som brøker kalder man dem irrationelle tal - altså tal der ikke er styret af "fornuft, logik og materiel virkelighed". I daglig tale kaldes disse for de reelle tal.

Rationelle tal

\( \mathbb{Q} = \ \left\{ \frac{ a }{ b } ~\middle| ~a,b \in \mathbb{Z} \wedge b \neq 0\right\} \)

Den ovenstående matematisk sætning læses som følger:

"Talmængden \( \mathbb{Q} \) er brøker (\( \frac{ a }{ b } \)), hvorom det gælder (\( \left. \right| \)), at a og b (\( a,b \)) tilhører (\( \in \)) talmængden \( \mathbb{Z} \), og at b skal være forskelligt fra 0 (\( b \neq 0 \))"

Irationelle tal

De tal som ikke er repræsenteret af \( \mathbb{N},\mathbb{N_0}, \mathbb{Z} \) og \( \mathbb{Q} \) kaldes for de irationelle tal. Talmængden har ikke sit eget symbol, men kan skrives som \( \mathbb{R} \)\\( \mathbb{Q} \). Det læses som alle elementer i de relle tal uden elementerne i de rationelle tal.

Reelle tal

De reelle tal er alle de tal der reelt findes. Dvs. alle de ovenstående talmængder og de irrationelle tal. De reelle tal angives med symbolet \( \mathbb{R} \)

Komplekse tal

Der findes dog endnu en talmængde nemlig de komplekse tal, som er opbygget af en reel og en imaginær del. Imaginær betyder "Findes kun i eller udspringer af en persons fantasi" (DDO ). Den imaginære del er tallet, hvorom det gælder at \( i^2 = -1 \). Denne talmængde skrives med \( \mathbb{C} \)

Intervaller

Her er nogle eksempler på intervaller.

\( [ ~a~;~ b ~] \) eller \( a \leq x \leq b \)

\( ] ~a~; ~b~ ] \) eller \( a < x \leq b \)

\( ] ~a~; ~b~ [ \) eller \( a < x < b \)

\( ] ~-\infty~ ; ~a~ ] \) eller \( x \leq a \)

Funktionsbegrebet

Funktionen f(x)

En funktion er defineret ved at der til hvert \( x \) tilhører et, og kun et \( y \).

Koordinatsystemet

Funktionsværdi

Funktionsværdien, \( f(x) = y \), er den værdi funktionen antager, når man anvender \( x \) i funktionen.

Definitionsmængden (Dm)

Definitionsmængden beskriver de værdier på x-aksen, hvor funktionen er gyldig. Her:

\( Dm(f) = ] ~a~;~d~ ] \)      eller      \( Dm(f) = a < x \leq d \)

Værdimængden (Vm)

Værdimængden beskriver de værdier på y-aksen, som funktionen kan antage. Her:

\( Vm(f) = [ ~e~;~g~] \)      eller      \( Vm(f) = e \leq y \leq g \)

Ekstrema

Ekstrama angiver de steder hvor funktionen har sine højeste og laveste værdier. Den højeste værdi kalder for maximum den laveste for minimum. Er der flere kaldes de for ekstrema

Den ovenstående funktion har ekstrema i x-værdierne \( b \) og \( c \)

  • Højeste værdi i \( b \)
  • Laveste værdi i \( c \)

Når en funktion har en absolut mindste eller største værdi (f.eks. en parabel), taler man om et "globalt ekstrema"

Monotoniforhold

For funktionen \( f \) gælder følgende monotoniforhold

  • \( f \) er aftagende/faldende for \( ]~a~;~e~] \).
  • \( f \) er tiltagende/voksende for \( [~e~;~c~] \).
  • \( f \) er aftagende/faldende for \( [~c~;~d~] \).

Funktionsanalyse

Når man laver en funktionsanalyse beskriver man en funktion ud fra 6 punkter:

  1. En graf af funktionen
  2. Tegn grafen i en graftegner så du kan se funktionen med du arbejder med den.

  3. Definitionsmængde (Dm)
  4. Hvilke x-værdier kan anvendes

  5. Værdimængde (Vm)
  6. Hvilke y-værdier kan funktionen have

  7. Nulpunkter og fortegn
  8. Det man undersøger er, hvornår:

    • \( f(x) = 0 \)
    • \( f(x) > 0 \)
    • \( f(x) < 0 \)

  9. Monotoniforhold
  10. Hvor er funktionen stigende og faldende

  11. Ekstrema
  12. Hvor har funktionen sin største eller mindste værdi. Hvis en funktion har flere "toppe" eller "dale" kan man beskrive lokale ekstrema

Funktioner

Linjen

Lineære funktioners normalform er:

$$ y=ax+b $$

Man kan finde ligningen til den lineære funktionen ved hjælp af to punkter på linjen.

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Formlerne for \( a \) og \( b \)

$$ a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ b= y_1 - ax_1$$

Eksponentielle funktioner

Eksponentialfunktioner normalform er:

$$ y= b \cdot a^x, ~hvor~ b > 0, a > 0, a \neq 1 $$

\( a \) kaldes for fremskrivningsfaktoren og \( b \) for begyndelsesværdien.

Man kan finde ligningen til eksponentialfunktionen ved hjælp af to punkter.

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Formlerne for \( a \) og \( b \)

$$ a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ b = \frac{y_1}{a^{x_1}}$$

Formlerne for fordoblingskonstanten (\( T_2 \)) og halveringskonstanten (\( T_{\frac{1}{2}} \)) er

$$ T_2 = \frac{ln(2)}{ln(a)} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ T_{\frac{1}{2}} = \frac{ln(\frac{1}{2})}{ln(a)}$$

Potensfunktioner

Potensfunktionens normalform er:

$$ y = b \cdot x^a $$

Man kan finde ligningen til eksponentialfunktionen ved hjælp af to punkter.

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Formlerne for \( a \) og \( b \)

$$ a = \frac{ ln \left(\frac{y_2}{y_1}\right) }{ ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right) } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ b = \frac{y_1}{{x_1}^a} $$

Andengradsligningen

Andengradsligningens normalform er:

$$ y = ax^2 + bx +c $$

For at løse andengradsliningen anvendes følgende formel

$$ x= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}, ~~ hvor~ D = b^2-4ac$$

Toppunkt

For at finde parablens toppunkt anvendes følgende formel

$$ TP = \left( \frac{-b}{2a} , \frac{-D}{4a} \right) $$

Antal rødder

Diskriminanten (\( D \)) beskriver antallet af rødder andengradsligning har.

Gaflernes orrientering

Fortegnet for \( a \) angiver gaflernes orrientering. Hvis \( a \) er positiv vender parablens gafler opad og hvis \( D \) er negativ vender de nedad.

Konstruktion af andegradsligninger

Man kan konstruere andengradsligninger med følgende formel:

$$ y = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) $$

Statistik

Begreber

Observation, hændelse og udfald

Observation: Noget man aktivt observerer.

Hændelse: Noget som sker f.eks. et biluheld.

Udfald: Noget der sker pga. en sandsynlighed f.eks. terningkast.

Population og stikprøve

En population er et datasæt der indeholder alle data... Har man ikke alle data taler man om stikprøve.

Repræsentativt datasæt

Et datasæt (stikprøve) der har data nok til at lave en nøjagtig beskrivelse af populationen.

Diskret og kontinuert data

Diskret data er eksakte værdier, hvor kontinuert data er grupperede værdier.

Symboler

Symbol Begreb Definition Talmængde
\( x \) Observation Anvendt data
\( h(x) \) Hyppighed Hvor ofte en observation/hændelse optræder \( \mathbb{N}_0 \)
\( H(x) \) Summeret hyppighed Hvor ofte denne og forgående observationer/hændelser optræder \( \mathbb{N}_0 \)
\( f(x) \) Frekenvens Hvor ofte en observation/hændelse optræder i forhold til det samlede antal observationer \( \mathbb{R} \)
\( F(x) \) Summeret frekenvens Hvor ofte denne og forgående observationer/hændelser optræder i forhold til det samlede antal observationer \( \mathbb{R} \)

Deskriptorer

Deskriptor Forklaring Metode
Typetal (diskret data) Den obeservation der forekommer flest gange Aflæsning
Typeinterval (kontinuert data) Den samling af observationer der er flest af Aflæsning
Mindste værdi Den mindst observerede værdi Aflæsning
Største værdi Den størst observerede værdi Aflæsning
Median Den midterste observation. Er det samme som 50% kvartilen (se nedenfor) Aflæsning
Middelværdi Gennemsnit Beregning

Notation

Notation Forklaring
\( n \) Antallet af observationer
\( k \) Antal observationssæt/værdier
\( \overline x \) Gennemsnitsværdien af \( x \)
\( m \) Interval midtpunkt. Den midterste værdi i et interval f.eks. \( ]160;170] = \frac{161+170}{2} = 165.5 \)
\( \sigma^2 \)/\( s^2 \) Variansen. \( \sigma^2 \) anvendes når det er en population og \( s^2 \) når det er en stikprøve.
\( \sigma \)/\( s \) Spredningen.\( \sigma \) anvendes når det er en population og \( s \) når det er en stikprøve.
\( \sum \) Summen af .... .Dette er det store bogstav sigma fra det græske alfabet

\( \sum \) - opsummer

Lad os kigge på et simpelt datasæt over karakterer. For at danne os et overblik over tabellen vælger vi at lave to rækker (\( x \) og \( x_i \)). En hvor tallene står og en hvor vi angiver positionerne ved hjælp af værdierne \( x_1 \) til \( x_k \), hvor \( k \) er den sidste observation.

Generelt datasæt
\( x_i \) \( x_1 \) \( x_2 \) \( x_3 \) \( ... \) \( x_{k-1} \) \( x_k\)

Hvis vi ville opsummere tallene ville vi altså lave regnestykket: \( x_1+x_2+x_3+...+x_{k-1}+{x_k} \)

Dette kan skrives som:

$$ \sum_{i=1}^{k} x_i = x_1+x_2+x_3+...+x_{k-1}+{x_k}$$

Udtrykket læses på denne måde: Opsummer \( x_i \), mens i gennemløber værdierne fra \( i=i \rightarrow k\).

\( \sum \) anvendes som ethvert andet tegn i matematikken f.eks:

$$ \sum_{i=1}^k x_i \cdot 2 = 2 \cdot \sum_{i=k}^3 x_i$$

Diagrammer

For at skabe et hurtig overblik over sin undersøgelse kan man lave diagrammer. De to mest anvendelige i denne sammenhæng er søjle- og lagkagediagrammet

Søjlediagram

Cirkeldiagram

Diskret fordeling

Eksempel på tabel

Denne tabel indeholder karakterfordelingen for 10 elever.

Tabel 2 (Kontinuerte observationer): Karakterer
x \( h(x) \) \( f(x) \)
\( 02 \) \( 1 \) \( 0,1 \)
\( 4 \) \( 2 \) \( 0,2 \)
\( 7 \) \( 4 \) \( 0,4 \)
\( 10 \) \( 2 \) \( 0,2 \)
\( 12 \) \( 1 \) \( 0,1 \)

Antal observationer

$$ n = \sum_{i=1}^{k} h_i $$

Middelværdi (gennemsnit)

1)

$$ \overline x = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i $$

2)

$$ \overline x = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot h_i $$

Varians

For en population:

1)

$$ \sigma^2 = \sum_{i=1}^k (x_i- \overline x)^2 \cdot f_i$$

2) ( da: \( f_i = \frac{1}{n} \cdot h_i \) )

$$ \sigma^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^k (x_i- \overline x)^2 \cdot h_i$$

For en stikprøve

$$ s^2 = \frac{1}{n-1} \cdot \sum_{i=1}^k (x_i- \overline x)^2 \cdot h_i$$

Spredning/standardafvigelse

For en population:

$$ \sigma = \sqrt {Var(x)} $$

For en stikprøve

$$ s = \sqrt {Var(x)} $$

Kontinuert data

Eksempel på tabel

Denne tabel indeholder højdefordelingen mellem 20 basketspillere.

Højde
\( ]x_{i-1};x_i] \)
Antal
\( h(x) \)
Frekvens
\( f(x) \)
Interval midtpunkt
\( m(x) \)
\( ]160;170] \) \( 3 \) \( 0,15 \) \( 165 \)
\( ]170;180] \) \( 9 \) \( 0,45 \) \( 175\)
\( ]180;190] \) \( 4 \) \( 0,2 \) \( 185 \)
\( ]190;200] \) \( 4 \) \( 0,2 \) \( 195 \)
\( ]200;210] \) \( 1 \) \( 0,05 \) \( 205 \)

Antal observationer

$$ n = \sum_{i=1}^{k} h_i $$

Interval midtpunkt

$$ m_i = \frac{1}{2} \cdot (x_i +x_{i+1}) $$

Middelværdi (gennemsnit)

1)

$$ \overline x = \sum_{i=1}^{k} m_i \cdot f_i $$

2)

$$ \overline x = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{k} m_i \cdot h_i $$

For en population er formlen:

1)

$$ \sigma^2 = \sum_{i=1}^k (m_i- \overline x)^2 \cdot f_i$$

2) ( da: \( f_i = \frac{1}{n} \cdot h_i \) )

$$ \sigma^2 = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^k (m_i- \overline x)^2 \cdot h_i$$

For en stikprøve

$$ s^2 = \frac{1}{n-1} \cdot \sum_{i=1}^k (m_i- \overline x)^2 \cdot h_i$$

Spredning/standardafvigelse

For en population:

$$ \sigma = \sqrt {\sigma^2} $$

For en stikprøve:

$$ s = \sqrt {s^2} $$

Finans

Generelle betegnelser

  • \( n \) er antallet af terminer
  • \( K_n \) er kapitalen efter \( n \) terminer
  • \( K_0\) er startkapitalen
  • \( r \) er renten per termin
  • \( y \) er ydelsen per termin

Nutidsværdi: Den værdi et lån/opsparing har lige nu.

Fremtidsværdi: Den værdi et lån/opsparing har efter den aftalte løbetid.

Rentes rente

\( K_n = K_0 \cdot (1+r)^n \)

Nutidsværdien

\( K_0 \) udregnes på følgende måde:

1)

$$ K_0 = \frac{K_n}{(1+r)^n} $$

2)

$$ K_0 = K_n \cdot (1+r)^{-n} $$

Rente

$$ r = \sqrt [n] { \frac{ K_n}{K_0} } -1$$

Antal terminer

$$ n = \frac{ ln \left( \frac{K_n}{K_0} \right) } { ln(1+r) }$$

Effektiv rente

$$ i = (1+r)^n - 1 $$

Gennemsnitlig rente

$$ r = \sqrt [n]{(1+r_1 ) \cdot (1+r_2) \cdot ~ ... ~\cdot (1+r_n)} -1 $$

... hvor \( r_x \) er renten i den gældende termin.

Annuitet

Fremtidsværdien

$$ A_n = y \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r} $$

Nutidsværdien

$$ A_0 = y \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} $$

Ydelsen

1) Hvis vi kender \( A_n \)

$$ y = A_n \cdot \frac{ r }{ (1+r)^n-1 } $$

2) Hvis vi kender \( A_0 \)

$$ y = A_0 \cdot \frac{ r }{ 1-(1+r)^{-n}} $$

Antal terminer

1) hvis vi kender \( A_n \)

$$ n = \frac{ ln \left( \frac{ A_n \cdot r }{ y } +1 \right) }{ ln(1+r) } $$

2) hvis vi kender \( A_0 \)

$$ n = - \frac { ln \left( 1 - \frac{ A_0 \cdot r } { y } \right) } { ln(1+r) } $$