Man siger at \( + \) og \( \cdot \) er kommunikative da rækkefølgen er uden betydning.
Man kan omskrive negative tal og brøker, så man kan arbejde kommunikativt med dem.
For at kunne snakke om matematik anvender vi et fagsprog, hvor vi anvender begreber som led og sætning. En matematisk sætning er opbygget af led, som er adskilt af \( + \) eller \( - \). Lad os kigge på nedestående matematiske udtryk, der består af 3 led:
Positive led kan flyttes rundt efter behov, så det kræver en omskrivning af de negative led, for at kunne flytte dem på samme måde.
Brøker tilhører talmængden \( \mathbb{Q} \). For at kunne beskrive brøker anvender vi begreberne tæller og nævner:
For at kunne lægge brøker sammen skal de have samme nævner
Når man dividerer med en brøk så ganger man med den reciprokke (modsatte) værdi
Addition
Substraktion
Multiplikation
Division
Tal der ganges med hinanden kaldes faktorer.
I matematik kan man have fordel af at faktorere tal ved hjælp af primtalsfaktorer. Primtal er tal, hvor kun en og tallet selv går op i tallet. Herunder er de første 17 primtal:
Se nedestående eksempel:
Det kan f.eks. anvendes til at forkorte brøker.
For at sikre et tal kommer ud som en positiv værdi anvender man nummeriske værdier:
Sætning 1:
Når det er en plus parentes er det:
- Det første led i anden plus det andet led i anden
- plus
- det dobbelte produkt af ledene
Sætning 2:
Når det er en minus parentes er det:
- Det første led i anden plus det andet led i anden
- minus
- det dobbelte produkt af ledene
Sætning 3:
Når det er en plus og en minus parentes er det:
- Det første led i anden minus det andet led i anden
Plus parantes
\( (2x+4)^2 = (2x)^2 + (4)^2 + 2 \cdot (2x \cdot 4) = 4x^2 + 16 + 16x\)
Minus parantes
\( (2x-4)^2 = (2x)^2 + (4)^2 - 2 \cdot (2x \cdot 4) = 4x^2 + 16 - 16x \)
Plus og minus parantes
\( (2x+4) \cdot (2x-4) = (2x)^2 - (4)^2 = 4x^2 - 16 \)
Definition 1
Definition 2
Definition 3
Definition 4
Benævnelsen for tallene \( a^x = y \) er:
Regneregel 1
\( 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \)
Regneregel 2
\( (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} \)
Regneregel 3
\( (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 ← regneregel 1 \)
Regneregel 4
\( \frac{ 2^3 }{ 2^4 } = 2^{3-4} = 2^{-1} \)
Regneregel 5
\( \frac{ 2^4 }{ 3^4 } = \left( \frac{ 2 }{ 3 }\right)^4 \)
Regneregel 6
\( \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{ 1 }{ 3 }} \)
Regneregel 7
\( \sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{ 4 }{ 3 }} \)
Logaritmefunktionen \( log_a(x) \) er defineret på følgende måde, hvor \( a \) er grundtallet:
Definition 1
Definition 2
Definition 3
Definition 4
Indenfor matematik anvender man ofte den naturlige logaritme hvor grundtallet er \( e \approx 2,718281828 \). Den kaldes også for ln, hvor det gælder at \( ln(e) = 1 \)
Formlerne herunde er lavet med ln
De generelle regnereglerne for logaritmer er:
Ved alle de nedestående formler kan \( ln \) erstattes med \( log \).
Regneregel 1
\( ln(3 \cdot 7) = ln(3) + ln(7) \)
Regneregel 2
\( ln(\frac{3}{7}) = ln(3) - ln(7) \)
Regneregel 3
\( ln(3^7) = 7 \cdot ln(3) \)
Når man løser ligninger bruger man følgende fremgangsmåde
Når man isolerer den ubekendte gælder der den regel, at der skal være "ligevægt" i ligningen. Det betyder at man skal gøre det samme på begge sider, f.eks:
Først trækker vi \( 7 \) fra på begge sider:
Herefter dividerer vi med \( 4 \) på begge sider:
Her bliver det meget pindet ud, men man bør skrive det uden melemregningere, når det er simpel hovedregning (her noteret lodret:
Når man løser ligninger anvender man tegnene:
Forskellen mellem dem er følgende
Man bruger enbestydende når udtrykkene på hver side
Lad os kigge på følgende eksempel på en ligningsløsning
Her anvende vi ensbetydende, fordi de efterfølgende udtryk alle kommer fra det første. Det betyder også at vi kan sige nedestående fordi de kan afledes af hinanden:
Sagt på en anden måde ... uanset om vi tager udtrykket til venstre eller til højre, så kan vi føre dem hen til det andet.
Nogle gange kan vi ikke gå begge veje. Det gælder f.eks. i følgende tilfælde:
Det er korrekt, at \( 3^2 = 9 \), men \( \sqrt{9} \) kan være både \( 3 \) og \( -3 \).
Hovedregel: Man skal gøre det samme på begge sider
Hvad skal fjernes/tilføjes | Løsning |
---|---|
Led | lægge til / trække fra |
Faktorer | gange / dividere |
Eksponenter | Logaritmer |
Potenser | rødder |
Parenteser | samler led |
Ændre fortegn | gange med \( -1 \) |
a)
b)
a)
b)
Lad os antage at vi har mængerne:
Tal der ikke findes i mængden.
\( \mathbb{N} = \{1, 2, 3 ...\} \)
\( \mathbb{N_0} = \{0, 1, 2, 3 ...\} \)
\( \mathbb{Z} = \{...-2, -1, 0, 1, 2...\} \)
Rationel betyder: "styret af eller baseret på fornuft, logik og materiel virkelighed" (DDO). Kort fortalt - brøker.
Der findes dog nogle tal som ikke kan skrives som brøker f.eks.: \( \pi \) og \( \sqrt{2} \). Da de tal ikke kan skrive som brøker kalder man dem irrationelle tal - altså tal der ikke er styret af "fornuft, logik og materiel virkelighed". I daglig tale kaldes disse for de reelle tal.
Rationelle tal\( \mathbb{Q} = \ \left\{ \frac{ a }{ b } ~\middle| ~a,b \in \mathbb{Z} \wedge b \neq 0\right\} \)
Den ovenstående matematisk sætning læses som følger:
"Talmængden \( \mathbb{Q} \) er brøker (\( \frac{ a }{ b } \)), hvorom det gælder (\( \left. \right| \)), at a og b (\( a,b \)) tilhører (\( \in \)) talmængden \( \mathbb{Z} \), og at b skal være forskelligt fra 0 (\( b \neq 0 \))"
Irationelle talDe tal som ikke er repræsenteret af \( \mathbb{N},\mathbb{N_0}, \mathbb{Z} \) og \( \mathbb{Q} \) kaldes for de irationelle tal. Talmængden har ikke sit eget symbol, men kan skrives som \( \mathbb{R} \)\\( \mathbb{Q} \). Det læses som alle elementer i de relle tal uden elementerne i de rationelle tal.
Reelle talDe reelle tal er alle de tal der reelt findes. Dvs. alle de ovenstående talmængder og de irrationelle tal. De reelle tal angives med symbolet \( \mathbb{R} \)
Der findes dog endnu en talmængde nemlig de komplekse tal, som er opbygget af en reel og en imaginær del. Imaginær betyder "Findes kun i eller udspringer af en persons fantasi" (DDO ). Den imaginære del er tallet, hvorom det gælder at \( i^2 = -1 \). Denne talmængde skrives med \( \mathbb{C} \)
Her er nogle eksempler på intervaller.
\( [ ~a~;~ b ~] \) eller \( a \leq x \leq b \)
\( ] ~a~; ~b~ ] \) eller \( a < x \leq b \)
\( ] ~a~; ~b~ [ \) eller \( a < x < b \)
\( ] ~-\infty~ ; ~a~ ] \) eller \( x \leq a \)
En funktion er defineret ved at der til hvert \( x \) tilhører et, og kun et \( y \).
Funktionsværdien, \( f(x) = y \), er den værdi funktionen antager, når man anvender \( x \) i funktionen.
Definitionsmængden beskriver de værdier på x-aksen, hvor funktionen er gyldig. Her:
\( Dm(f) = ] ~a~;~d~ ] \) eller \( Dm(f) = a < x \leq d \)
Værdimængden beskriver de værdier på y-aksen, som funktionen kan antage. Her:
\( Vm(f) = [ ~e~;~g~] \) eller \( Vm(f) = e \leq y \leq g \)
Ekstrama angiver de steder hvor funktionen har sine højeste og laveste værdier. Den højeste værdi kalder for maximum den laveste for minimum. Er der flere kaldes de for ekstrema
Den ovenstående funktion har ekstrema i x-værdierne \( b \) og \( c \)
Når en funktion har en absolut mindste eller største værdi (f.eks. en parabel), taler man om et "globalt ekstrema"
For funktionen \( f \) gælder følgende monotoniforhold
Når man laver en funktionsanalyse beskriver man en funktion ud fra 6 punkter:
Tegn grafen i en graftegner så du kan se funktionen med du arbejder med den.
Hvilke x-værdier kan anvendes
Hvilke y-værdier kan funktionen have
Det man undersøger er, hvornår:
Hvor er funktionen stigende og faldende
Hvor har funktionen sin største eller mindste værdi. Hvis en funktion har flere "toppe" eller "dale" kan man beskrive lokale ekstrema
Lineære funktioners normalform er:
Man kan finde ligningen til den lineære funktionen ved hjælp af to punkter på linjen.
Formlerne for \( a \) og \( b \)
Eksponentialfunktioner normalform er:
\( a \) kaldes for fremskrivningsfaktoren og \( b \) for begyndelsesværdien.
Man kan finde ligningen til eksponentialfunktionen ved hjælp af to punkter.
Formlerne for \( a \) og \( b \)
Formlerne for fordoblingskonstanten (\( T_2 \)) og halveringskonstanten (\( T_{\frac{1}{2}} \)) er
Potensfunktionens normalform er:
Man kan finde ligningen til eksponentialfunktionen ved hjælp af to punkter.
Formlerne for \( a \) og \( b \)
Andengradsligningens normalform er:
For at løse andengradsliningen anvendes følgende formel
For at finde parablens toppunkt anvendes følgende formel
Diskriminanten (\( D \)) beskriver antallet af rødder andengradsligning har.
Fortegnet for \( a \) angiver gaflernes orrientering. Hvis \( a \) er positiv vender parablens gafler opad og hvis \( D \) er negativ vender de nedad.
Man kan konstruere andengradsligninger med følgende formel:
Observation: Noget man aktivt observerer.
Hændelse: Noget som sker f.eks. et biluheld.
Udfald: Noget der sker pga. en sandsynlighed f.eks. terningkast.
En population er et datasæt der indeholder alle data... Har man ikke alle data taler man om stikprøve.
Et datasæt (stikprøve) der har data nok til at lave en nøjagtig beskrivelse af populationen.
Diskret data er eksakte værdier, hvor kontinuert data er grupperede værdier.
Symbol | Begreb | Definition | Talmængde |
---|---|---|---|
\( x \) | Observation | Anvendt data | |
\( h(x) \) | Hyppighed | Hvor ofte en observation/hændelse optræder | \( \mathbb{N}_0 \) |
\( H(x) \) | Summeret hyppighed | Hvor ofte denne og forgående observationer/hændelser optræder | \( \mathbb{N}_0 \) |
\( f(x) \) | Frekenvens | Hvor ofte en observation/hændelse optræder i forhold til det samlede antal observationer | \( \mathbb{R} \) |
\( F(x) \) | Summeret frekenvens | Hvor ofte denne og forgående observationer/hændelser optræder i forhold til det samlede antal observationer | \( \mathbb{R} \) |
Deskriptor | Forklaring | Metode |
---|---|---|
Typetal (diskret data) | Den obeservation der forekommer flest gange | Aflæsning |
Typeinterval (kontinuert data) | Den samling af observationer der er flest af | Aflæsning |
Mindste værdi | Den mindst observerede værdi | Aflæsning |
Største værdi | Den størst observerede værdi | Aflæsning |
Median | Den midterste observation. Er det samme som 50% kvartilen (se nedenfor) | Aflæsning |
Middelværdi | Gennemsnit | Beregning |
Notation | Forklaring |
---|---|
\( n \) | Antallet af observationer |
\( k \) | Antal observationssæt/værdier |
\( \overline x \) | Gennemsnitsværdien af \( x \) |
\( m \) | Interval midtpunkt. Den midterste værdi i et interval f.eks. \( ]160;170] = \frac{161+170}{2} = 165.5 \) |
\( \sigma^2 \)/\( s^2 \) | Variansen. \( \sigma^2 \) anvendes når det er en population og \( s^2 \) når det er en stikprøve. |
\( \sigma \)/\( s \) | Spredningen.\( \sigma \) anvendes når det er en population og \( s \) når det er en stikprøve. |
\( \sum \) | Summen af .... .Dette er det store bogstav sigma fra det græske alfabet |
Lad os kigge på et simpelt datasæt over karakterer. For at danne os et overblik over tabellen vælger vi at lave to rækker (\( x \) og \( x_i \)). En hvor tallene står og en hvor vi angiver positionerne ved hjælp af værdierne \( x_1 \) til \( x_k \), hvor \( k \) er den sidste observation.
Generelt datasæt | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
\( x_i \) | \( x_1 \) | \( x_2 \) | \( x_3 \) | \( ... \) | \( x_{k-1} \) | \( x_k\) |
Hvis vi ville opsummere tallene ville vi altså lave regnestykket: \( x_1+x_2+x_3+...+x_{k-1}+{x_k} \)
Dette kan skrives som:
Udtrykket læses på denne måde: Opsummer \( x_i \), mens i gennemløber værdierne fra \( i=i \rightarrow k\).
\( \sum \) anvendes som ethvert andet tegn i matematikken f.eks:
For at skabe et hurtig overblik over sin undersøgelse kan man lave diagrammer. De to mest anvendelige i denne sammenhæng er søjle- og lagkagediagrammet
Denne tabel indeholder karakterfordelingen for 10 elever.
Tabel 2 (Kontinuerte observationer): Karakterer | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
x | \( h(x) \) | \( f(x) \) | |||||||
\( 02 \) | \( 1 \) | \( 0,1 \) | |||||||
\( 4 \) | \( 2 \) | \( 0,2 \) | |||||||
\( 7 \) | \( 4 \) | \( 0,4 \) | |||||||
\( 10 \) | \( 2 \) | \( 0,2 \) | |||||||
\( 12 \) | \( 1 \) | \( 0,1 \) |
1)
2)
For en population:
1)
2) ( da: \( f_i = \frac{1}{n} \cdot h_i \) )
For en stikprøve
For en population:
For en stikprøve
Denne tabel indeholder højdefordelingen mellem 20 basketspillere.
Højde \( ]x_{i-1};x_i] \) |
Antal \( h(x) \) |
Frekvens \( f(x) \) |
Interval midtpunkt \( m(x) \) |
---|---|---|---|
\( ]160;170] \) | \( 3 \) | \( 0,15 \) | \( 165 \) |
\( ]170;180] \) | \( 9 \) | \( 0,45 \) | \( 175\) |
\( ]180;190] \) | \( 4 \) | \( 0,2 \) | \( 185 \) |
\( ]190;200] \) | \( 4 \) | \( 0,2 \) | \( 195 \) |
\( ]200;210] \) | \( 1 \) | \( 0,05 \) | \( 205 \) |
1)
2)
For en population er formlen:
1)
2) ( da: \( f_i = \frac{1}{n} \cdot h_i \) )
For en stikprøve
For en population:
For en stikprøve:
Nutidsværdi: Den værdi et lån/opsparing har lige nu.
Fremtidsværdi: Den værdi et lån/opsparing har efter den aftalte løbetid.
\( K_0 \) udregnes på følgende måde:
1)
2)
... hvor \( r_x \) er renten i den gældende termin.
1) Hvis vi kender \( A_n \)
2) Hvis vi kender \( A_0 \)
1) hvis vi kender \( A_n \)
2) hvis vi kender \( A_0 \)