Den lineære funktion

Lineære funktioners normalform er:

$$ y=ax+b $$

Man kan finde ligningen til den lineære funktionen ved hjælp af to punkter på linien.

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Formlerne for $ a $ og $ b $

$$ a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ b= y_1 - ax_1$$

Bevis lineære funktionen

Find a

For at finde a indsættes punkterne $ P $ og $ Q $ i normalformen for den lineære funktion på følgende måde

$$ y_1 = ax_1 + b ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ y_2 = ax_2 +b $$

Herefter trækkes de to udtryk fra hinanden

$$ y_2 - y_1 = ax_2 + b - (ax_1 +b) \\ \Updownarrow \\ y_2 - y_1 = ax_2 + b - ax_1 - b $$

Udtrykket reduceres

$$ y_2 - y_1 = ax_2 - ax_1 $$

$ a $ sættes uden for parantes

$$ y_2 - y_1 = a(x_2-x_1) $$

Herefter isoleres $ a $ og beviset er gennemført

$$ \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} = a$$

Find b

Indsæt et af punkterne i ligningen for den lineære funktionen

$$ y_1 = ax_1 + b $$

Isoler $ b $ og beviset er gennemført

$$ y_1 - ax_1 = b $$