Logaritmer

Hvad er logaritmer

Den store danske ordbog beskriver logaritmer på følgende måde:

logaritmer, "regnetal", hvorved multiplikation og division erstattes af addition og subtraktion, en enorm lettelse ved beregninger før lommeregnernes og computernes tid.

DDO om logaritmer

Det er naturligvis ikke den måde vi anvender dem på i dag, da vi har lommeregnere og computere. Logaritmer anvender vi som et værktøj til matematisk at kunne løse ligninger hvori der indgår tal med eksponenter, og hvor den ene er ubekendt. Sagt på en anden måde: Logaritmer er den omvendte funktion til tal med eksponenter.

Selve begrebet er skabt af matematikeren John Napier og er sammensat af de græske ord logos (tanke) og arithmos (tal).

Grundtal - base

Logaritmefunktionen er forskellig alt efter hvilket grundtal den laves ud fra. Oftest anvender man grundtallene 10, 2 og e.

F.eks. er Richterskalaen, som beskriver et jordskælvs styrke, en logaritmisk skala med grundtallet 10. Det betyder at et jordskælv med værdien 7 er 10 gange kraftigere end et med værdien 6. På lignende måde er Decibel en logaritmisk skala.

Grundtallet 2 bliver anvendt i informationsteknologiske sammenhænge, da computere anvender det binære talsystem.

Grundtallet \( e \approx 2,718281828 \) (også kaldet Eulers tal), er grundtallet i den naturlige logaritme, \( ln \). Den kaldes naturlig, da den kan anvendes i mange sammenhænge, hvor man forsøger at beskrive naturen, og den har mange praktiske anvendelsesmuligheder.

Definitioner

Logaritmefunktionen \( log_a(x) \) er defineret på følgende måde:

Definition 1

$$ log_a(a^x) = x $$

Definition 2

$$ log_a(x) = y \Leftrightarrow a^y = x $$

Definition 3

$$ log_a(1) = 0 $$

Definition 4

$$ log_a(a) = 1 $$

10-tals logoritmen

Hvis der ikke er skrevet noget til logaritmefunktionen er det underforstået at det er 10-tals logaritmen: \( log_{10}(x) \). Den er god at tage udgangspunkt i, da det er overskueligt at regne med eksponenter til tallet 10

Der gælder altså:

Sætning 1)

$$ log(x) = y \Leftrightarrow 10^y = x $$

Sætning 2)

$$ log(10^x) = x $$

Sætning 3)

$$ 10^{log(x)} = x $$

Den naturlige logaritme

Den naturlige logaritme har grundtallet \( e \approx 2,718281828 \) , og den bliver ofte anvendt til at arbejde med ubekendte eksponenter ... måske fordi det er hurtigere at skrive \( ln \) end \( log \).

Sætning 1)

$$ ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x $$

Sætning 2)

$$ ln(e^x) = x $$

Sætning 3)

$$ e^{ln(x)} = x $$

Regneregler

De generelle regnereglerne for logaritmer er:

$$ for ~ a,b > 0 \wedge x \in \mathbb{R} $$

1)

$$ log(a \cdot b) = log(a) + log(b) $$

2)

$$ log(\frac{a}{b}) = log(a) - log(b) $$

3)

$$ log(a^x) = x \cdot log(a) $$

Hvis man har behov for at omregne en logaritme fra en base til en anden anvendes følgende formel:

4)

$$ log_a(x) = \frac{ log_b(x) }{ log_b(a)} $$

Beviser

Bevis regneregel 1

$$ log(a \cdot b) = log(a) + log(b) $$

For at kunne gennemføre beviset laver vi først nogle værdier for \( \alpha \) og \( \beta \), som omskrives ved hjælp af sætning 1.

$$ \alpha = log(a) \Leftrightarrow a = 10^\alpha $$
$$ \beta = log(b) \Leftrightarrow b = 10^\beta $$

Bevis 1

$$ log(a \cdot b) = log( 10^\alpha \cdot 10^\beta) = log(10^{\alpha + \beta}) = \alpha + \beta = log(a) + log(b)$$

Beviset opdelt og forklaret

$$ log(a \cdot b) $$

Vi anvender sætningerne for \( \alpha \) og \( \beta \) og omskriver:

$$ log( 10^\alpha \cdot 10^\beta) $$

Vi anvender regnereglen for potens:   \( a^n \cdot a^m= a^{n+m} \)

$$ log(10^{\alpha + \beta}) $$

Vi anvender sætning 2: \( log(10^x) = x \)

$$ \alpha + \beta $$

Vi erstatter \( \alpha \) og \( \beta \) med deres \( log \)-værdier

$$ log(a) + log(b) $$

Beviset er hermed gennemført

$$ log(a \cdot b) = log(a) + log(b) $$

Bevis regneregel 2

$$ log(\frac{a}{b}) = log(a) - log(b) $$

For at kunne gennemføre beviset skal vi først have udført et lille trick.

Sæt:

$$ a = \frac{a}{b} \cdot b $$

Bevis 2

$$ a = \frac{a}{b} \cdot b ~\Leftrightarrow ~ log(a) = log\left( \frac{a}{b} \cdot b \right) ~\Leftrightarrow~ log(a) = log\left( \frac{a}{b} \right) +log(b) \Leftrightarrow ~log(a)-log(b) = log(\frac{a}{b}) $$

Beviset opdelt og forklaret

Først laver vi følgende sande udsagn

$$ a = \frac{a}{b} \cdot b $$

Anvend logaritmen på begge sider af lighedstegnet

$$ log(a) = log\left( \frac{a}{b} \cdot b \right) $$

Regneregel 1 anvendes:

$$ log(a) = log\left( \frac{a}{b} \right) +log(b) $$

Brøken isoleres:

$$ log(a)-log(b) = log(\frac{a}{b}) $$

Beviset er hermed gennemført

$$ log(\frac{a}{b}) = log(a) - log(b) $$

Bevis regneregel 3

$$ log(a^x) = x \cdot log(a) $$

For at kunne gennemføre beviset laver vi først en værdi for \( \alpha \) som omskrives ved hjælp af sætning 1.

$$ \alpha = log(a) \Leftrightarrow a = 10^\alpha $$

Bevis 3

$$ log(a^x) = log((10^\alpha)^x) = log(10^{\alpha \cdot x}) = \alpha \cdot x = log(a) \cdot x $$

Beviset opdelt og forklaret

$$ log(a^x) $$

Vi anvender sætningen for \( \alpha \) og omskriver

$$ log((10^\alpha)^x) $$

Vi anvender regnereglen for potens:   \( ({a^n})^m = a^{n \cdot m} \)

$$ log(10^{\alpha \cdot x}) $$

Vi anvender sætning 2: \( log(10^x) = x \)

$$ \alpha \cdot x $$

Vi erstatter \( \alpha \) med dens \( log \)-værdi

$$ log(a) \cdot x $$

Beviset er hermed gennemført

$$ log(a^x) = x \cdot log(a) $$

Bevis regneregel 4

Beviset for denne formel er lidt anderledes end for de ovenstående. Det skyldes at de ovenstående gælder for alle grundtal (baser). Her skal vi omskrive en logaritme fra et grundtal til et anden, så vi bliver nød til at bibeholde basebetegnelsen igennem hele beviset.

$$ log_a(x) = \frac{ log_b(x) }{ log_b(a)} $$

Bevis 3

$$ a^{log_a(x)} = x ~\Leftrightarrow~ log_b(a^{log_a(x)}) = log_b(x) ~\Leftrightarrow~ log_a(x) \cdot log_b(a) = log_b(x) ~\Leftrightarrow~ log_a(x) = \frac{ log_b(x) }{ log_b(a)} $$

Beviset opdelt og forklaret

For at komme frem til vores resultat opstiller vi følgende sande udsagn (sætning 3)

$$ a^{log_a(x)} = x $$

Vi tager logaritmen med grundtallet \( b \) på begge sider, altså: \( log_b \) .

$$ log_b(a^{log_a(x)}) = log_b(x) $$

Vi anvender regneregel 3

$$ log_a(x) \cdot log_b(a) = log_b(x) $$

Til sidst isolerer vi \( log_a(x) \).

$$ log_a(x) = \frac{ log_b(x) }{ log_b(a)} $$

Beviset er hermed gennemført