Beviser

\( \sqrt{2} \) er ikke et rationelt tal

Vi skal her vise at \( \sqrt{2} \) ikke er et rationelt tal, altså at det ikke tilhører talmængden \( \mathbb{Q} \).

Lad os opstille følgende udsagn:

$$ \sqrt{2} = \frac{ p }{ q } $$

Vi antager at brøken \( \frac{ p }{ q } \) er en uforkortelig brøk og tilhører tilhører talmængden \( \mathbb{Q} \). Vi gør følgende:

$$ \sqrt{2} = \frac{ p }{ q } \\ \Updownarrow \\ q \cdot \sqrt{2} = p \\ \Updownarrow \\ q^2 \cdot 2 = p^2 $$

Heraf kan vi udlede

  • \( p^2 \) er lige,
  • hvilket betyder at \( p \) er lige

Det betyder at vi kan opstille følgende udsagn

$$ p = 2 \cdot s $$

Dette indsætter vi i det udsagn i det vi kom frem til:

$$ q^2 \cdot 2 = p^2 \\ \Updownarrow \\ q^2 \cdot 2 = (2s)^2 = 4 \cdot s^2 \\ \Updownarrow \\ q^2 = 2\cdots^2 $$

Heraf kan vi udlede:

  • \( q^2 \) er lige,
  • Hvilket betyder at \( q \) er lige

Lad os kigge på udgangspunktet

$$ \sqrt{2} = \frac{ p }{ q } $$

\( \frac{ p }{ q } \) skal være en uforkortelig brøk for at udsagnet er opfyldt, men vi har lige fundet ud af at både \( p \) og \( q \) er lige tal. Det betyder altså at brøken \( \frac{ p }{ q } \) kan forkortes. Det indledende udsagn kan altså ikke opfyldes. Der er ingen uforkortelig brøk der giver \( \sqrt{2} \).

QED: \( \sqrt{2} \) kan ikke omskrives til en uforkortelig brøk hvilket betyder at \( \sqrt{2} \) ikke tilhører talmængden \( \mathbb{Q} \).

Primtalstvillinger

Herunder vil vi bevise at 12 går op i summen af primtalstvillinger, hvor primtaller er større end eller lig med \( 5 \). En primtalstvilling er to primtal hvor forskellen mellem dem kun er \( 2 \).

Lad os kigge på primtallene:

$$ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, \\61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, \\ 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191,\\ 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257,\\ 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, ... $$

Her er de første 50 mio primtal: https://primes.utm.edu/lists/small/millions/

Her har vi de 6 første primtalstvillingerne i det ovenstående og deres sum

$$ \frac{ 5+7 }{ 12 } = 1$$
$$ \frac{ 11+13 }{ 12 } = 2 $$
$$ \frac{ 17+19 }{ 12 } = 3 $$
$$ \frac{ 29+31 }{ 12 } = 5 $$
$$ \frac{ 41+43 }{ 12 } = 7 $$
$$ \frac{ 59+61 }{ 12 } = 10 $$
$$ ... $$

Som vi kan se, så gælder det ihvertfald for de første 6 tilfælde ... og for alle de primtalspar der er ovenfor. Lad os kigge på det generelt.

For en primtalstvilling gælder det, at det andet primtal er to større end det første. Hvis vi angiver det første primtal til at hedde \( n \), så vil det andet primtal altså hedde \( n+2 \). Dvs. at vi kan skrive påstanden om at summen af to primtalstvillinger kan deles med 12 på følgende måde:

$$ \frac{ n + (n+2) }{ 12 } = a, (n,a \in \mathbb{N} | n \geq 5) $$

Lad os kigge på brøken:

$$ \frac{ n + (n+2) }{ 12 } = \frac{ 2n+2 }{ 2 \cdot 2 \cdot 3 } = \frac{ 2(n+1) }{ 2 \cdot 2 \cdot 3 } = \frac{ n+1 }{ 2 \cdot 3 } $$

Det endelige udsagn fortæller os, at både \( 2 \) og \( 3 \) skal gå op i \( n+1 \), for at udsagnet er sandt. Begge nedestående udsagn skal altså resultere et naturligt tal (\( \mathbb{N} \)):

$$ \frac{ n+1 }{ 2 } \wedge \frac{ n+1 }{ 3 } $$

Lad os undersøge begge tilfælde

$$ \frac{ n+1 }{ 2 } $$

I forhold til det første udsagn kan vi sige at det gælder, fordi \( n+1 \) altid vil være et lige tal, da n (primtal større end 5) altid er ulige

$$ \frac{ n+1 }{ 3 } $$

For at argumentere for at 3 går op i n+1 skal vi lige overveje den gamle bum leg, hvor man skal sige bum hver gang man rammer et tal i 3-tabellen. Den vil se ud som følger:

$$ 1 ~,~ 2 ~,~ bum ~,~ 4 ~,~ 5 ~,~ bum ~,~ 7 ~,~ 8 ~,~ bum ~,~ 10 ~,~ 11 ~,~ bum ~,~13 ~,~... $$

Hver tredie gang skal vi sige bum, fordi taller er i 3-tabellen. Lad os nu kigge på talrækken fra \( n \).

$$ n ~~,~~ n+1 ~~,~~ n+2 $$

Vi ved at \( n \) og \( n+2 \) er primtal. Dvs. at det kun er \( 1 \) og tallet selv der går op i dem. Fra bum-legen ovenfor ved vi at hver tredie tal vil være et bum. Derfor går \( 3 \) altså op i \( n+1 \)

QED: Vi har vist at tallet \( 12 \), der kan opløses i primtalsfaktorerne \( 2 \cdot 2 \cdot 3 \), går op i \( n + (n+2) \).

Den manglende krone

Tre venner overnatter på et motel og de giver 300,- kr. for overnatningen.. Næste morgen opdager receptionisten at hun har taget 5 kr for meget. Hun går op for at aflevere dem, men ingen af de 3 venner vil have mere end de anden.

"OK" siger receptionisten og giver hver af de tre personer en krone og beholder selv de sidst to.

Der er altså sket følgende

  • De tre venner har hver betalt \( 99 \) kr.
  • Reptionisten har \( 2 \) kr
  • De har ialt betalt: \( 3 \cdot 99 + 2 = 299 \)

Hvor er den manglende krone?

Forklaring

Problemet her handler om algebra. Regnestykket ovenfor laver følgende regnestykke

$$ 3 \cdot (100-1) + 2 = 299 $$

Det regnestykke man skal stille op er:

$$ (3 \cdot 100) - 5 +3 + 2 = 300 $$

Det som sker i hvert led er:

  • Hver betaler 100 kr. (\( 3 \cdot 100 \))
  • Der trækkes 5 kr ud (\( - 5 \))
  • Vennerne får 3 kr (\( +3 \))
  • og receptionisten får 2 kr.(\( +2 \))