Potensfunktioner

Potensfunktionen

Potensfunktionens normalform er:

$$ y = b \cdot x^a, ~ hvor ~ b > 0, ~ x > 0, ~ a \in \mathbb{R} $$

Man kan finde ligningen til eksponentialfunktionen ved hjælp af to punkter på linien.

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Formlerne for $ a $ og $ b $

$$ a = \frac{ ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right) }{ ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right) } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ b = \frac{y_1}{{x_1}^a} $$

For at finde a indsættes punkterne $ P $ og $ Q $ i normalfornem for eksponentialfunktionen på følgende måde

$$ y_1 = b \cdot {x_1}^a ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ y_2 = b \cdot {x_2}^a$$

Herefter divideres de to udtryk med hinanden

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{ b \cdot {x_2}^a }{ b \cdot {x_1}^a } $$

Udtrykket reduceres

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{{x_2}^a }{{x_1}^a } $$

Brøken på venstre side omskrives ved hjælp af potensregler, og eksponenten sættes uden for parantes

$$ \frac{y_2}{y_1} = { \left( \frac{x_2}{x_1} \right) }^a $$

Logaritmen tages på begge sider, for at $ a $ kan rykkes ned som en faktor

$$ ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right) = a \cdot ln{ \left( \frac{x_2}{x_1} \right) } $$

$ a $ isoleres og beviset er gennemført

$$ \frac{ ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right) }{ ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right) } = a$$

Indsæt et af punkterne i ligningen for potensfunktionen

$$ y_1 = b \cdot {x_1}^a $$

Isoler $ b $ og beviset er gennemført

$$ \frac{y_1}{{x_1}^a} = b $$