Vækst funktioner

Eksponential funktioner

Eksponentialfunktioner normalform er:

$$ y= b \cdot a^x, ~hvor~ b > 0, a > 0, a \neq 1 $$

$ a $ kaldes for fremskrivningsfaktoren og $ b $ for begyndelsesværdien.

Man kan finde ligningen til eksponentialfunktionen ved hjælp af to punkter på linien.

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Formlerne for $ a $ og $ b $

$$ a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ b = \frac{y_1}{a^{x_1}}$$

Formlerne for fordoblingskonstanten ($ T_2 $) og halveringskonstanten ($ T_{\frac{1}{2}} $) er

$$ T_2 = \frac{ln(2)}{ln(a)} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ T_{\frac{1}{2}} = \frac{ln(\frac{1}{2})}{ln(a)}$$

Bevis eksponentialfunktioner

Find a

For at finde a indsættes punkterne $ P $ og $ Q $ i normalfornem for eksponentialfunktionen på følgende måde

$$ y_1 = b \cdot a^{x_1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ y_2 = b \cdot a^{x_2}$$

Divider de to udtryk med hinanden

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{b \cdot a^{x_2}}{b \cdot a^{x_1}} $$

Udtrykket reduceres

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} $$

Brøken på venstre side omskrives ved hjælp af potensregler ($ \frac{ a^m }{ a^n } = a^{m-n}$)

$$ \frac{y_2}{y_1} = a^{x_2-x_1} $$

Herefter tages roden på begge sider og beviset er gennemført

$$ \sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}} = a $$

Find b

Indsæt et af punkterne i ligningen for eksponentialfunktionen

$$ y_1 = b \cdot a^{x_1} $$

Isoler $ b $ og beviset er gennemført

$$ \frac{y_1}{a^{x_1}} = b $$

Fordoblings- og halveringskonstanten

Da eksponentielfunktioner hele tiden vokser eller aftager med samme procent per enhed anvender man to værdier til at beskrive funktionerne: Fordoblingskonstanten som har betegnelsen $ T_2 $ og halveringskonstanten som betegnes $ T_{\frac{1}{2}} $. På den måde får man en beskrivelse af hvor hurtig eksponentialfunktioner til- og aftager.

Bevis fordoblingskonstanten

Fordoblingskonstanten er givet ved formlen:

$$ T_2 = \frac{ln(2)}{ln(a)} $$

På nedestående arbejdstegning er der indtegnet en vilkårlig eksponentialfunktion som går igennem punkterne $ P $ og $ Q $.

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Punkterne er afsat sådan at funktionsværdien af $ x_2 $ er det dobbelte af funktionsværdien for $ x_1 $, sådan at $ y_2 $ kan erstattes af $ 2 \cdot y_1 $. Afstanden mellem $ x_1 $ og $ x_2 $ er altså $ T_2 $ (fordoblingskonstanten).

For at finde en formel for fordoblingskonstanten indsætter vi de omskrevne værdier for henholdsvis $ P $ og $ q $ i normalfornem for den eksponentielle funktion og vi definerer $ T_2 $.

$$ y_1 = b \cdot a^{x_1} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2 \cdot y_1 = b \cdot a^{x_2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ T_2 = x_2 - x_1$$

De to udtryk divideres med hinanden

$$ \frac{2 \cdot y_1}{y_1 } = \frac{b \cdot a^{x_2}}{b \cdot a^{x_1}} $$

Udtrykket forkortes

$$ 2 = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} $$

Regneregel for potenser i brøker anvendes

$$ 2 = a^{x_2 - x_1} $$

$ x_2 - x_1 $ erstattes med $ T_2 $

$$ 2 = a^{T_2} $$

Logaritmen anvendes på begge sider så vi kan isolere eksponenten

$$ ln(2) = T_2 \cdot ln(a) $$

$ T_2 $ isoleres og beviset er gennemført

$$ \frac{ln(2)}{ln(a)}= T_2 $$

Bevis halveringskonstanten

Halveringskonstanten er givet ved formlen:

$$ T_{\frac{1}{2}} = \frac{ln\left(\frac{1}{2}\right)}{ln(a)} $$

Beviset for halveringskonstanten følger den samme fremgangsmåde som den for fordoblingskonstanten

På nedestående arbejdstegning er der indtegnet en vilkårlig eksponentialfunktion som går igennem punkterne $ P $ og $ Q $.

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Punkterne er afsat sådan at funktionsværdien af $ x_2 $ er det halve af funktionsværdien for $ x_1 $, sådan at $ y_2 $ kan erstattes af $ \frac{1}{2} \cdot y_1 $. Afstanden mellem $ x_1 $ og $ x_2 $ er altså $ T_{\frac{1}{2}} $ (halveringskonstanten).

For at finde en formel for halveringskonstanten indsætter vi de omskrevne værdier for henholdsvis $ P $ og $ Q $ i normalfornem for den eksponentielle funktion og vi definerer $ T_{\frac{1}{2}} $.

$$ y_1 = b \cdot a^{x_1} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \frac{1}{2} \cdot y_1 = b \cdot a^{x_2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ T_{\frac{1}{2}} = x_2 - x_1$$

De to udtryk divideres med hinanden

$$ \frac{\frac{1}{2} \cdot y_1}{y_1 } = \frac{b \cdot a^{x_2}}{b \cdot a^{x_1}} $$

Udtrykket forkortes

$$ \frac{1}{2} = \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} $$

Regneregel for potenser i brøker anvendes

$$ \frac{1}{2} = a^{x_2 - x_1} $$

$ x_2 - x_1 $ erstattes med $ T_{\frac{1}{2}} $

$$ \frac{1}{2} = a^{T_{\frac{1}{2}}} $$

Logaritmen anvendes på begge sider så vi kan isolere eksponenten

$$ ln\left(\frac{1}{2}\right) = T_{\frac{1}{2}} \cdot ln(a) $$

$ T_{\frac{1}{2}} $ isoleres og beviset er gennemført

$$ \frac{ln\left(\frac{1}{2}\right)}{ln(a)}= T_{\frac{1}{2}} $$

Potensfunktioner

Potensfunktionens normalform er:

$$ y = b \cdot x^a $$

Man kan finde ligningen til eksponentialfunktionen ved hjælp af to punkter på linien.

$$ P=(x_1,y_1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Q=(x_2,y_2) $$

Formlerne for $ a $ og $ b $

$$ a = \frac{ ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right) }{ ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right) } ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ b = \frac{y_1}{{x_1}^a} $$

Bevis potensfunktionen

Find a

For at finde a indsættes punkterne $ P $ og $ Q $ i normalfornem for eksponentialfunktionen på følgende måde

$$ y_1 = b \cdot {x_1}^a ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ y_2 = b \cdot {x_2}^a$$

Herefter divideres de to udtryk med hinanden

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{ b \cdot {x_2}^a }{ b \cdot {x_1}^a } $$

Udtrykket reduceres

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{{x_2}^a }{{x_1}^a } $$

Brøken på venstre side omskrives ved hjælp af potensregler, og eksponenten sættes uden for parantes

$$ \frac{y_2}{y_1} = { \left( \frac{x_2}{x_1} \right) }^a $$

Logaritmen tages på begge sider, for at $ a $ kan rykkes ned som en faktor

$$ ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right) = a \cdot ln{ \left( \frac{x_2}{x_1} \right) } $$

$ a $ isoleres og beviset er gennemført

$$ \frac{ ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right) }{ ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right) } = a$$

Find b

Indsæt et af punkterne i ligningen for potensfunktionen

$$ y_1 = b \cdot {x_1}^a $$

Isoler $ b $ og beviset er gennemført

$$ \frac{y_1}{{x_1}^a} = b $$