Finansregning

Renter

Der findes 5 forskellige typer renter:

  • Årlig rente

    • Angives med pa. (pro anno / per år), f.eks: \( 8\% ~p.a. \)

  • Terminsrente

    • Angiver den rente der gælder for hver tilskrivning. Hvis et lån f.eks. er \( 8 \% ~p.a. \), så vil den månedlige rente (terminsrenten) være på \( \frac{ 8 }{ 12 } = 0,66 ~\%\)

    Den korrekte beregningsmetode

    Når vi regner til dagligt anvender vi den ovenstående metode, hvor vi bare deler den årlige rente med antallet af terminer. Den korrekte måde at beregne terminsrentener ved følgende formel:

    $$ (1+r_{termin})^{terminer} = 1+r_{år} \\ \Updownarrow \\ 1 + r_{termin} = \sqrt [terminer] {(1+r_{år})} \\ \Updownarrow \\ r_{termin} = \sqrt [terminer] {(1+r_{år})} -1 $$

    Dvs. hvor vi normalt vil ansætte 6% rente pa = \frac{ 6 }{ 12 } % = 0,5% pm, vil den rigtige måndedlige rente være:

    $$ r_{termin} = \sqrt[12]{(1+0,06)} -1 = 0,004867 $$

    Det er en forskel på 0,000265% svarende til 0,265 ‰, som i vores sammenhæng bliver betragtet som ubetydelig.

  • Effektiv rente

    • Den rente man reelt betaler pr år. I formlen herunder er:

    • \( r_t \) = Renten per termin.
    • \( n_{pa} \) = Terminer pr år
    • \( i \) = Den effektive rente

    \( i = (1+r_t)^{n_{pa}} - 1 \)

    I eksemplet ovefor vil det altså være \( i = (1+0,0066)^{12} - 1 = 0,0821 = 8,21\% \)

  • Gennemsnitlig rente

    • Den rentetilskrivning der gennemsnitligt har været i hele perioden

    \( r = \sqrt [n]{(1+r_1 ) \cdot (1+r_2) \cdot ~ ... ~\cdot (1+r_n)} -1 \)

  • ÅOP

    • De samlede udgifter (rente, gebyr og administration) der er på et lån pr år. Det er ofte ÅOP på det første år der er angivet i dokumenter.

    Vær opmærksom på at ÅOP skal tages med et grand salt, især når der tales om mindre lån, da oprettelsesgebyrer kan have stor indvirkning på ÅOP. Se nedestående regneark

    AOP_beregning.xls

Rentes rente.

Formlen for renters rente er givet ved:

\( K_n = K_0 \cdot (1+r)^n \)

Hvor:

  • \( n \) er antallet af terminer
  • \( K_n \) er kapitalen efter \( n \) terminer
  • \( K_0\) er startkapitalen
  • \( r \) er renten pr. termin

Induktionsbevis

For at bevise formlen anvender vi et induktionsbevis. For et induktionsbevis er gældende skal man vise at et udsagn \( P(n) \) er sandt for \( n \in \mathbb{N} \). Det gør man ved at gennemløbe 3 punkter

  1. Vis at det gælder for \( n=1 \)
  2. Antag at \( P(n) \) er sand og
  3. vis at det gælder for \( P(n+1) \)

Har vi vist a, b og c må det gælde at \( P(1), P(2), P(3), ... \)er sand.

Bevis: Rentes rente formlen

Formlen vi gerne vil bevise er:

$$ K_n = K_0 \cdot (1+r)^n $$
Punkt a

Først vi vi vise at det gælder for \( n=1 \). Vi ved at:

$$ K_1 = K_0 \cdot (1+r)^1 $$
Punkt b

Nu antager vi at det gælder for ethvert \( n \):

$$ K_n = K_0 \cdot (1+r)^n $$
Punkt c

Vi fremskriver \( K_n \) med en termin:

$$ K_{n+1} = K_n \cdot (1+r)^1 $$
\( K_0 = K_n\)?

Grunden til at vi kan erstatte \( K_0 \) med \( K_n \) er, at udtrykket \( K_{n+1} \) svarer til at skrive \( K_n \) + en termin.

$$ \overbrace {K_0 \cdot (1+r) \cdot (1+r) \cdot (1+r) \cdot (1+r) }^\text{n terminer} \cdot \require{overbracket}\overbracket{(1+r)}^\text{1. termin} $$

\( K_n \) kan altså tolkes som vores nye start kapital (\( K_0 \))

Vi erstatter\( K_n \) med \( K_0 \cdot (1+r)^n \)

$$ K_{n+1} = K_0 \cdot (1+r)^n \cdot (1+r)^1 $$

... og anvender potensreglen (\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)):

$$ K_{n+1} = K_0 \cdot (1+r)^{n+1} $$

Nu har vi ved induktionsmetoden bevist rentesrente formlen:

\( K_n = K_0 \cdot (1+r)^n \)

Find K0

Formlen for \( K_0 \) er:

1)

$$ K_0 = \frac{K_n}{(1+r)^n} $$

2)

$$ K_0 = K_n \cdot (1+r)^{-n} $$

Bevis 1)

$$ K_0 \cdot (1+r)^n = K_n \\ \Updownarrow\\ K_0 = \frac{K_n}{(1+r)^n} $$

Bevis 2)

For at vise den anden formel skal udtrykket omskrives:

$$ K_0 = \frac{K_n}{(1+r)^n} \\ \Updownarrow\\ K_0 = K_n \cdot \frac{1}{(1+r)^n} $$

Da det gælder at \( \frac{ 1 }{ x } = x^{-1}\) kan det omskrives til:

$$ K_0 = K_n \cdot \left( (1+r)^n \right)^{-1} $$

Da \( (x^a)^b = x^{a \cdot b} \)

$$ K_0 = K_n \cdot (1+r)^{-n} $$

Find renten

Formlen til at finde renten er:

$$ r = \sqrt [n] { \frac{ K_n}{K_0} } -1$$
Bevis
$$ K_0 \cdot (1+r)^n = K_n \\ \Updownarrow\\ (1+r)^n = \frac{K_n}{K_0} \\ \Updownarrow \\ \sqrt [n] {(1+r)^n} = \sqrt [n] { \frac{K_n}{K_0} } \\ \Updownarrow \\ 1+r = \sqrt [n] { \frac{K_n}{K_0} } \\ \Updownarrow \\ r = \sqrt [n] { \frac{K_n}{K_0} } - 1 $$
$$ $$

Find terminer

Formlen til at finde antal terminer er:

$$ n = \frac{ ln \left( \frac{K_n}{K_0} \right) } { ln(1+r) }$$
Bevis
$$ K_0 \cdot (1+r)^n = K_n \\ \Updownarrow\\ (1+r)^n = \frac{K_n}{K_0} \\ \Updownarrow \\ n \cdot ln(1+r) = ln \left( \frac{K_n}{K_0} \right) \\ \Updownarrow \\ n= \frac{ ln \left( \frac{K_n}{K_0} \right) } { ln(1+r) } $$

Effektiv rente

Den effektive rente beskriver den reelt betalte rente over et år

$$ i = (1+r)^n - 1 $$

Lad os kigge på et eksempel med en årlig rente på \( 6% \) med månedlig rentetilskrivning. Dvs. \( \frac{ 0,06 }{ 12 } = 0,005 \). Da der også bliver betalt rente af de tilskrevne renter i forløbet bliver den effektive rente altså lidt større:

$$ i = (1+0,005)^{12} - 1 = 0,0617 = 6,17\% $$

Gennemsnitlig rente

Hvis der er forskellige renter i løbetiden kan den gennemsnitlige rente udregnes med ved at anvende renten for den enkelte periode med følgende formel:

$$ r = \sqrt [n]{(1+r_1 ) \cdot (1+r_2) \cdot ~ ... ~\cdot (1+r_n)} -1 $$

Lad os kigge på en opsparing over 3 år, med årlig rentetilskrivning og hvor renterne var: 6%, 8% og 2%.

$$ r = \sqrt [n]{(1+0,06 ) \cdot (1+0,08) \cdot (1+0,02)} -1 = 0,0530 = 5,30 \% $$

Annuitetsregning

Annuitetsregning indeholder både ydelse og renter, som skal medtages, og den beskriver over tid (terminer) den udvikling der sker. Her taler vi om to begreber:

  • Fremtidsværdien (\( A_n \))
  • Nutidsværdien (\( A_0 \))

\( A_n \) beskriver det beløb der står på en konto efter en ydelse er blevet indbetalt i \( n \) terminer og \( A_0 \) beskriver det tidspunkt hvor et lån går i nul.

Fremtidsværdien

Formlen for \( A_n \) er:

$$ A_n = y \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r} $$

Udledning af formlen

For at få et overblik over formlen laver vi følgende skema:

Termin \( 0 \) \( 1 \) \( 2 \) \( ... \) \( n-1 \) \( n \)
\( A_0 \) \( A_1 \) \( A_2 \) \( ... \) \( A_{n-1} \) \( A_n \)
Ydelse \( ingen \) \( y \) \( y \) \( ... \) \( y \) \( y \)

Det som skemaet viser er måden ydelsen falder i forhold til terminen.

Det vi ved er at rentesregning formlen er:

$$ K_n = K_0 \cdot (1+r)^n $$

Derfor har vi nu et udtryk for hvad der sker i den enkelte termin. For at finde en formel vil vi skrive ned hvordan den endelige ydelse vil være, og vi gør det baglæns. Dvs:

Termin \( n \) \( n-1 \) \( ... \) \( 2 \) \( 1 \) \( 0 \)
\( A_n \) \( A_{n-1} \) \( ... \) \( A_2 \) \( A_1 \) \( A_0 \)
Ydelse \( y \) \( y \) \( ... \) \( y \) \( y \) \( ingen \)
antal terminers rente \( 0 \) \( 1 \) \( ... \) \( n-2 \) \( n-1 \) \( ... \)

Da vi kender formlen for rentes regning kan vi anvende den til at finde det endelige beløb ved at addere hver termin. Vi starter med den sidste ydelse og beregner terminerne enkeltvis:

$$ A_n = y \cdot (1+r)^0 + y \cdot (1+r)^1 + y \cdot (1+r)^2+... + y \cdot (1+r)^{n-2} + y \cdot (1+r)^{n-1} $$

Grunden til at sidste led er \( n-1 \) er, at der i den n'te termin ikke er påløbet nogen rente. For at få overblik erstatter vi \( (1+r) \) med \( a \):

$$ A_n = y + y \cdot a^1 + y \cdot a^2 + ... + y \cdot a^{n-2} + y \cdot a^{n-1} $$

\( y \) sættes uden for parantes:

$$ A_n = y \cdot (1+a^1+a^2+ ... +a^{n-2}+a^{n-1}) $$

For at komme videre laver vi et lille "trick". Vi ganger og dividerer med \( a-1 \):

$$ A_n = y \cdot \frac{(1+a+a^2 + ... +a^{n-2}+a^{n-1}) \cdot (a-1)}{a-1} $$

Gang paranteserne i tælleren sammen:

$$ A_n = y \cdot \frac{a+a^2+a^3 + ...+a^{n-1}+a^n- 1 \cdot (1+a+...+a^{n-2}+a^{n-1})} {a-1} $$

Gang ind i den sidste parantes:

$$ A_n = y \cdot \frac{a+a^2+a^3 + ...+a^{n-1}+a^n- 1 -a-a^2-...-a^{n-2}-a^{n-1}}{a-1} $$

Forkort:

$$ A_n = y \cdot \frac{a^{n}-1}{a-1} $$

Erstat \( a \) med \( (1+r) \):

$$ A_n = y \cdot \frac{(1+r)^{n}-1}{(1+r)-1}$$

Forkort tælleren:

$$ A_n = y \cdot \frac{(1+r)^{n}-1}{r} $$

Hermed er beviset gennemført.

Nutidsværdien

Formlen for \( A_0 \) er:

$$ A_0 = y \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r} $$

Udledning af formlen

For at få et overblik over formlen kigger vi igen på skemaet for at få et overblik.:

Termin \( 0 \) \( 1 \) \( 2 \) \( ... \) \( n-1 \) \( n \)
\( A_0 \) \( A_1 \) \( A_2 \) \( ... \) \( A_{n-1} \) \( A_n \)
Ydelse \( ingen \) \( y \) \( y \) \( ... \) \( y \) \( y \)

Fra vi har den sidste ydelse (\( A_n \)) og tilbage til den første har vi n terminer. Dvs. vi kan igen anvende det udtryk vi kender fra rentesregning til at beregne \( A_0 \):

$$ K_0 = K_n \cdot (1+r)^{-n} \Rightarrow A_0 = A_n \cdot (1+r)^{-n}$$

Grunden til at vi kan gøre dette er, at \( K_0 \) er startkapitalen (hvilket svarer til nutidsværdien) og \( K_n \) er slutkapitalen (hvilket svarer til fremtidsværdien).

Da vi kender \( A_n \) fra før indsætter vi det i udtrykket:

$$ A_0 = y \cdot \frac{(1+r)^{n}-1}{r} \cdot (1+r)^{-n} $$

Vi sætter på samme brøkstreg:

$$ A_0 = y \cdot \frac{ \left( (1+r)^{n}-1 \right) \cdot (1+r)^{-n} }{r} $$

Vi ganger ind i parantesen

$$ A_0 = y \cdot \frac{ (1+r)^{n} \cdot (1+r)^{-n} - 1 \cdot (1+r)^{-n} }{r} $$

Vi anvender potensregler:

$$ A_0 = y \cdot \frac{ (1+r)^{n - n} - (1+r)^{-n} }{r} $$

... og samler udtrykket:

$$ A_0 = y \cdot \frac{ 1 - (1+r)^{-n} }{r} $$

Hermed er beviset gennemført.

Ydelsen

Formlen til at finde ydelsen er:

1) Hvis vi kender \( A_n \)

$$ y = A_n \cdot \frac{ r }{ (1+r)^n-1 } $$

2) Hvis vi kender \( A_0 \)

$$ y = A_0 \cdot \frac{ r }{ 1-(1+r)^{-n}} $$

Udledning af formlen ved An

$$ y \cdot \frac{ (1+r)^n - 1 }{ r } = A_n \\ \Updownarrow \\ y \cdot ((1+r)^n - 1) = A_n \cdot r \\ \Updownarrow \\ y = A_n \cdot \frac{ r }{ (1+r)^n - 1 } $$

Udledning af formlen ved Ao

$$ y \cdot \frac{ 1 - (1+r)^{-n} }{r} = A_0 \\ \Updownarrow \\ y \cdot ( 1 - (1+r)^{-n})= A_0 \cdot r \\ \Updownarrow \\ y = A_0 \cdot \frac{ r }{ 1 - (1+r)^{-n} } $$

Hermed er beviset gennemført.

Antal terminer

Formlen til at finde antal terminer er:

1) hvis vi kender \( A_n \)

$$ n = \frac{ ln \left( \frac{ A_n \cdot r }{ y } +1 \right) }{ ln(1+r) } $$

2) hvis vi kender \( A_0 \)

$$ n = - \frac { ln \left( 1 - \frac{ A_0 \cdot r } { y } \right) } { ln(1+r) } $$

Udledning af formlen ved An

$$ y \cdot \frac{ (1+r)^n-1 }{ r } = A_n \\ \Updownarrow \\ \frac{ (1+r)^n-1 }{ r } = \frac{ A_n }{ y } \\ \Updownarrow \\ (1+r)^n-1 = \frac{ A_n \cdot r}{ y } \\ \Updownarrow \\ (1+r)^n = \frac{ A_n \cdot r}{ y } + 1 \\ \Updownarrow \\ n \cdot ln(1+r) = ln \left( \frac{ A_n \cdot r}{ y } + 1 \right) \\ \Updownarrow \\ n = \frac{ ln \left( \frac{ A_n \cdot r}{ y } + 1 \right) }{ ln(1+r) } $$

Hermed er beviset gennemført.

Udledning af formlen ved Ao

$$ y \cdot \frac{ 1 - (1+r)^{-n} }{r} = A_0 \\ \Updownarrow \\ \frac{ 1 - (1+r)^{-n} }{r} = \frac{ A_0 }{ y } \\ \Updownarrow \\ 1 - (1+r)^{-n} = \frac{ A_0 \cdot r }{ y } \\ \Updownarrow \\ - (1+r)^{-n} = \frac{ A_0 \cdot r }{ y } - 1 \\ \Updownarrow \\ (1+r)^{-n} = 1 - \frac{ A_0 \cdot r }{ y } \\ \Updownarrow \\ -n \cdot ln(1+r) = ln \left( 1 - \frac{ A_0 \cdot r }{ y } \right) \\ \Updownarrow \\ -n = \frac{ ln \left( 1 - \frac{ A_0 \cdot r }{ y } \right) }{ ln(1+r) } \\ \Updownarrow \\ n = - \frac{ ln \left( 1 - \frac{ A_0 \cdot r }{ y } \right) }{ ln(1+r) } $$

Hermed er beviset gennemført.

Amortisationstabel

En amortisationstabel viser hvordan et lån afvikler sig over tid. Dette gøres ved hjælp af regne ark.

Du kan finde materialet om amortisationstabeller her: regneark.html#Financielle_funktioner

Opsparingstabel

Ligesom man kan kan lave tabeller over afvikling af lån, kan man også lave tabeller over udviklingen af en opsparing.

Her kan du hente et regneark, der viser udviklingen af et lån: udvikling_af_opsparing.xls

Økonomiske grundligninger

I de økonomiske enheder taler vi om overskud og fortjeneste og her bruger man følgende betegnelser:

  • \( R(x) \) (Indtægt/Revenue)
  • \( O(x) \) (Overskud)
  • \( p(x) \) (Pris/Price)
  • \( C(x) \) (Udgift/Cost)

Der er følgende to grundligninger:

  • Indtægt: \( R(x)= p(x) \cdot x \)

    • \( Indtægt = pris ~per ~enhed \cdot antal~enheder \)

  • Overskud: \( O(x) = R(x) - C(x) \)

    • \( Overskud = Indtægt \cdot Udgift \)

Det betyder altså at en overkudsvirksomhed er kendetegnet ved:

$$ R(x) > C(x) $$

Prisfunktionen

Når man kender prisen på et produkt \( p(x) \), så kan man beregne prisen for \( x \) antal enheder. Dette gælder både som produktions og som salgspris. Denne enhedspris kan være beskrevet ved hjælp af forskellige funktionstyper, som vi har gennemgået tidligere.

  • Konstant: \( a \cdot x = ax \)
  • Lineær:
  • Eksponential: \( \)
  • Potens: \( \)

Konstant pris

Ved den konstante pris koster et produkt det samme uanset mængden man køber. Det kan angives ved følgende formel:

$$ a \cdot x = ax $$

Linær pris-funktion

Ved den lineære funktion er prisen givet ved at man har en startværdi der er forskellig fra 0, og hvor produktet enten kan blive billigere ellere dyrere for hver enhed man køber ved at falde med en konstant værdi. Det vil henholdsvis give en positiv eller en negativ hældningskoefficient

$$ (ax+b) \cdot x = ax^2 + bx $$

Eksponentiel prisfunktion

Ved den eksponentielle funktion er priseng givet ved at man har en startværdi der er forskellig fra 0 og hvor der er en fremskrivningsfaktor, der er forskellig fra 1. Prisen vil altså udvikle sig enten med en ned- eller opadgående tendens

$$ (b \cdot a^x) \cdot x = b \cdot a^x \cdot x = b \cdot log(a) \cdot x^2 $$

Potentiel prisfunktion

Ved den potentielle funktion vil prisen vokse ved hjælp af en exponent. Her vil prisen enten til- eller aftage mere og mere for hver enhed der sælges.

$$ (b \cdot x^a) \cdot x = b \cdot x^{(a+1)} $$

Grunden til at vi i matematik lærer alle disse funktionstyper at kende, er fordi vi får brug for dem for at kunne tolke en pris- eller kursudvikling.

Model

For at få et overblik over hvilke formler man skal anvende kan du udfylde denne model. Du skal anvende den formel der tilhører den betegnelse du ikke har nogen værdi på.